数学分析读书报告-几类积分的定义性质计算与运用

1、云 南 大 学数学分析习作课（2）论文题 目： 几类积分的定义，性质，计算与运用 学 院： 专 业： 数理基础科学 姓名、学号： 任课教师： 时 间： 2010-6-19 摘 要本文介绍了积分的问题，介绍了几类积分的概念，性质以及计算方法和应用等。在论述应用时，首先给出了计算积分的一些方法、概念及公式。接下来阐述了积分在几何上和物理上的应用及其典型公式。把重点放在了积分的计算上，给出了积分的多种计算方法，并且分别给出了计算公式，然后用大量典型例题进一步介绍了积分的计算。每个例题都有其独特之处,具有很强的代表性。然后用大量例题进一步列举出积分在几何上和物理上的具体应用。关键词：不定积分，定积分，

2、二重积分，三重积分，第一、二类曲线积分，第一、二类曲面积分定义、定理、性质、计算及公式参考文献：数学分析（第二版）上、下册 高等教育出版社 复旦大学数学系 编一、不定积分1、定义：在某一区间上，则在这个区间上，函数叫做函数的原函数2、基本公式：3、基本结论，二、定积分1、定积分的定义设是定义在上的函数，在中任意插入若干个分点（这里插入个）来划分区间，这一分法记为。在每一个部分区间中任取一点，作和式其中，设为中的最大数，即当时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖于的选择，也不赖于对的分法，就称此极限为在上的定积分。这一定义可以用的说法表述如下：设有定数，对任意的，存在，对任意的分法，不管在中如

3、何选择，只要，便有则称是在区间上的定积分，记为数和分别称为的下限和上限。和式称为的积分函数，因此在历史上是黎曼首先以一般形式给出这一定义，所以也称为黎曼和数。在上述意义下的定积分，也叫黎曼积分。如果在的定积分存在，我们就说在可积（黎曼积分）推论 若在上可积，则在上必有界。定积分的几何意义：若是以连续曲线段，且，则由定积分定义可知，就表示曲线及直线所围成的曲边梯形的面积。我们规定：及2、定积分的存在条件定理1 如果在原有的分点中加入新的分点，则上和不增，下和不减。即：若加入新分点后对应的上和及下和分别记为及，则，。定理2 对于一切分法，上和的集合有下界，下和的集合有上界。这里分别用及记在的上确界

4、及下确界。定理3 任意一个下和总不超过任意一个上和。即使对应不同分法的上和及下和。定理4（达布定理） 对任意有界函数，必有，其中规定为：对任意的分法，。定理5（定积分存在的第一充分必要条件） 函数在上可积的充分必要条件是： 即定理6（定积分存在的第二充分必要条件） 函数在上可积的充分必要条件是：对任意给定的两个正数及，可以找到，使当任意分法满足时，对应幅度的那些区间的长度之和。3、可积函数类（1）、上的连续函数在上必可积（2）、只有有限个第一类不连续点的函数是可积的，即连续函数是可积的。推论：在的两个函数，如果只在有限个点处具有不同的函数值，而其中的一个函数可积，那么另一个函数也可积，且积分之

5、值相同。因而，对于一个可积函数变动它的有限个点的值，可积性不变，积分之值也不变。（3）、单调有界函数必定可积。4、定积分的性质性质1 若在上可积，为一实数，则在上也可积，且有性质2 若，在上可积，则在上也可积，且有性质3 若，在上可积，则在上也可积。性质4 若在上可积，则在上也可积。性质5 若，在上可积，则在上也可积，并成立性质6 若可积函数，则性质7 若在上可积，则性质8（积分第一中值定理） 若在上连续，在上不变号，且在上可积，则在中存在一点，使性质9 设在上可积，作，则是上的连续函数。三、几类积分的表述与性质表述 （设为一几何形体：或者是直线段，或者是曲线段，或者是一块平面图形、一块曲面、

6、一块空间区域等等）1、二重积分如果几何形体是一块可求面积的平面图形，那么上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为 2、三重积分如果几何形体是一块可以求体积的空间几何体，那么上的积分就成为三重积分，在直角坐标下记为 3、第一类曲线积如果几何形体是一可求长的空间曲线段，那么上的积分就称为第一类曲线积分，记为 4、第一类曲面积分如果几何形体是一块可求面积的曲面片，那么上的积分就称为第一类曲面积分,记为 特别的，如果被积函数，由定义可以知道就是几何形体的度量，亦即正如同定积分中是区间的长度一样。性质1、若函数在上可积，则在上也可积，且有 2、若函数和都在上可积，则其和，积也在上可积3、若函数在上可积，

7、将分成任何两个部分和，和都可度量，并且的每一个内点都不在中，那么在和上都可积，且 4、若函数和都在上可积，且在上成立着，则 5、若在上可积，则亦在上可积，且但若在上可积，不能断定也在上可积。6、第一中值定理 若在上可积，则存在常数，使得 这里介于在上的上确界和下确界之间。推论 若在上连续，则在上至少存在一点，使 四、积分的计算（一）不定积分的计算（略）（二）定积分计算的基本公式定理1、若在连续，则函数在可导，且基本公式 设在上连续，是的任意一个原函数，即=，那么定理2、定积分的换元公式设在上连续，作代换。其中，在闭区间上有连续导数，当时，则定积分的分部积分公式若，在上连续，则典例杂例1、2、设

8、在上连续，那么当是偶数时，当是奇数时，3、若是周期为的连续函数,则其中为任意常数习题（三）二重积分的计算1、化二重积分为二次积分从几何意义上我们可以将二重积分化为二次积分，也就是进行二次定积分计算定理 若在矩形区域上可积，并且对上的任何，含参变量积分存在，则 简单区域：即区域的边界曲线与平行于轴（或轴）的直线最多交于两点，或者有部分边界是平行于轴（或轴）的直线段。可见，当在简单区域上连续时，就有 这就是化二重积分为二次积分的计算公式。例1积分区域为直线和抛物线所围部分，求函数 在上的二重积分。解：由于被积函数是连续的，是由两段光滑曲线所围的简单区域，故按定理 且积分区域是由不等式所表示，所以

9、例2求下列曲面所界的体积其中， 解：积分区域是轴，轴，及三直线围成的三角形，于是 例3计算 其中是由直线及抛物线所围成的区域解： 先对后对积分时，区域可表示为于是有 如果化为先对后对的积分，则有 由于的原函数不能用初等函数来表示，所以它的积分难以进一步求出。因此，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，就需要根据被积函数及积分区域的不同情况而决定对哪一变量先积分。习题化二重积分为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的二次积分）（1）是由轴与所围成的区域；（2）是由所围成的区域；（3）是由所围成的区域。2、用极坐标计算二重积分积分区域是圆域或者被积函数形为的积分，采用极坐标计算往往要简便得多

10、1、 如果积分区域可表示为，就有 2、当积分区域的边界曲线方程为就可化成先后的二次积分： 3、 当积分区域包含极点在内时，则积分限取为 4、当积分区域的边界曲线通过极点，我们求出相继使的两个角度及，则积分限应取为： 例4 计算其中为圆域。解：如果采用直角坐标来计算，这个积分就无法求出，先选取极坐标，此时表示为故有 例5 在一个形状为旋转抛物面的容器内，已盛装有的溶液，现又倒进的溶液，问液面比原来的液面升高了多少厘米？解：必须先确定容量与液面高度之间的关系。设液面高度为，则由与所围成的立体体积为 在极坐标系内，表示为 于是，容量与高度之间的关系是= =把与分别代入上式，就得，。因此，所求液面比原

11、来液面升高了。3、二重积分的一般变量替换作变量替换的目的是使积分值能较易算出设函数在平面上的某区域内具有对和对的连续偏导数，当在上变动时，对应于平面上的点在区域上变动。又设函数建立了之间的一一对应，并且在上雅可比式 定理若是平面的闭区域上的连续函数，又设 在上有关于和的连续偏导数，通过把变换为，并且变换是一对一的，又设则注意：在定理中，假设变换的行列式在积分区域上非零。但有时会遇到这样的情形，变换的行列式在区域内的个别点上等于零，或只在一条线上等于零而在其他点上非零，以上结论任然成立。将极坐标变换作为一个特例考虑：变换的雅可比式为仅仅在极点处雅可比式为零，在其他点上雅可比式非零。按照换元法则中

12、的注解，因而对任何不论是否包含极点的区域成立这里为面积元素。这就是已经叙述过的极坐标变换下二重积分的计算法。在各个具体问题中，选择变换公式的依据有两条： 如同定积分那样使得经过变换后的函数容易积分。 使得积分限很容易安排例6求出由抛物线以及双曲线所围区域的面积。解： 作变换在这个变换下，平面上的区域变为平面上的区域变换的雅可比式于是所求面积为习题 求曲线所围的面积（四）三重积分的计算1、先考虑积分区域是长方体的情况 定理设在长方体上可积，并且对上的任何含多变量积分存在，则等式右边的逐次积分常简记为利用逐次积分的计算公式，进一步把三重积分化为三次积分来计算，用类似方法，可以先把三重积分化为先计算

13、一个二重积分，再算一个定积分，如下:2、对于一般区域，有下面结论设为一块可求体积的空间区域，它的边界曲面和任何平行于坐标轴的直线至多交于两点。函数定义在区域上，并且在上连续。考虑三重积分化逐次积分的问题设积分区域的曲线方程为及区域在平面上的投影为，那么又若平面上的区域为由曲线，所围成的区域，再按照二重积分化为定积分的计算方法得：=也可以这样理解，积分限的安排是根据把积分区域作为由以下不等式所描述确定的：也可以把积分区域投影到平面或平面，可以得到类似的公式。例7计算积分 区域由三个坐标平面及平面围成，这个区域可以这样来表示，它的下底为平面，它的上底为平面，它在平面上的投影是由，以及所围成，于是若

14、将区域投影在平面上在进行计算，则有3、三重积分的变量替换关于三重积分的变量替换，与二重积分相仿，设作变换且 假设这些函数建立了区域的点与区域的点之间的一一对应关系，并且这些函数都在所论区域上有连续偏导数。这时存在逆变换于是三重积分的还原法则为：在曲线坐标之下，体积元素为当雅可比式在区域的个别点上或某条曲线，某块曲面上等于零，而在其它点处非零食时，换元法仍成立两种最常用的坐标变换柱面坐标设空间一点在平面上的投影为，如点的极坐标为，则叫做点的柱面坐标，其中是点到轴的距离，是平面与平面的交角。在柱面坐标系中，三族坐标面为：，即以轴为轴的圆柱面，半径是；，即过轴的半平面，它和平面的夹角为；，即平行于平

15、面的平面。这三族曲（平面），两两正交，所以柱面坐标系是正交坐标系。点的直角坐标与它的柱面坐标之间的关系为，此时变换的雅可比式为，于是在柱面坐标下，体积元素为。因此，柱面坐标变换时，有这就是直角坐标中三重积分变换为柱面坐标中三重积分的计算公式这个三重积分可以化为逐次积分来计算。一般总是将区域投影在平面上，记在平面上的投影为，将三重积分化为例8求是球面与抛物面所围部分，用柱面坐标作变换，上面两个曲面方程分别变换为及它们的交线是因此在平面上的投影为是一个圆，于是球面坐标设空间一点在平面上的投影为点，是有向线段与轴的正向之间的交角，是两平面的交角，则叫做点的球面坐标在球面坐标系中，三族坐标面为：，即以

16、原点为中心的球面；，即以原点为顶点，轴为轴的圆锥面； ，即过轴的半平面。这三族曲（平面），两两正交，所以球面坐标系是正交坐标系。设点平面上的垂直投影，并设，则，又从直角三角形中，有，。所以，点的直角坐标与它的球面坐标的关系为，其中，变换的雅可比式为所以在球坐标中，体积元素为于是得到这就是直角坐标中三重积分变换为球面坐标中三重积分的计算公式有时，取，这时点的直角坐标与它的球面坐标的关系成为，而，变换的雅可比式变为相应的，体积元素为例9设为球面和锥面所围的部分。求的体积。解：利用球面坐标，此时上面两个曲面的方程变换为：于是体积为：（五）、第一类曲线积分的计算设函数在光滑曲线上有定义且连续，的方程为

17、 利用求弧长的公式，可以把第一类曲线积分化为定积分来计算。运用公式如下：特别的，如果曲线为一光滑的平面曲线，它的方程为，那么有例10若为右半单位圆周，求解：为半圆：由 符号的选取应保证，在圆弧段，故而在圆弧段上，由于，故所以：习题计算为顶点的三角形(六)第二类曲线积分的计算1、变力做功与第二类曲线积分的定义设为一条光滑或逐段光滑曲线，且设是定义在上的有界函数。将沿一确定方向从起点开始用分点分成个有向弧段，直至终点，且设。在每一弧段上任取一点，作和式：其中为起点，为终点。设，这里表示有向线段的长度。若当时，和有极限，且它与的分法无关，也与点的选择无关，则称为沿曲线按所属方向的第二类曲线积分，记作

18、2、第二类曲线积分的计算曲线积分化为定积分的公式：在平面情况，设光滑曲线的参数方程为 且设当从单调地增加到时，点从点沿连续地移动到点且设曲线自身不相交。那么，也有曲线积分化为定积分的公式：如空间曲线是由 表示的，且设当单调地从增加到时，点从点连续地移动到点，则只须在上连续，在上连续，就有注意：例11计算曲线积分：其中为折线且设从原点经过点到点是积分所沿的方向解：当时， 当时，运用计算公式有两类曲线积分一般的联系公式第一类与第二类曲线积分的定义是不同的，由于都是沿曲线的积分，两者之间有密切联系。可以将一个第二类曲线积分化为第一类曲线积分，反之也一样。=习题计算第二类曲线积分（七）第一类曲面积分的

19、计算1、曲面的面积：认为和数的极限值就是所考虑的曲面的面积2、化第一类曲面积分为二重积分利用曲面面积的表达式，可以将第一类曲面积分化为二重积分：若曲面的方程表示为参数形式，假设曲面没有重点，即上的点与中的点是一一对应的，同时函数皆在上具有对和的连续偏导数，并且其雅可比矩阵在上的秩为，可得这里例12计算是球面解：因 所以 ，从而其中，是平面上以原点为中心，半径为的圆。化为极坐标来计算，即得习题（八）第二类曲面积分的计算1、曲面的侧的概念，包括单侧，双侧，上侧，下侧切平面：由两偏导数所得切线构成曲面在每一点都有切平面，从而在每一点都有确定的法线。曲面的法线方向余弦为，根式前符号的选择正好确定了曲面

20、的一侧。如：若选取正号，则，即法线与正向轴的夹角为锐角。把这样确定的一侧称为上侧，若选取负号，则所确定的一侧叫做下侧，在下侧，法线与正向轴的夹角为钝角。2、第二类曲面积分的定义显示方程表示的无重点的光滑曲面，并设在平面上的投影为边界由逐段光滑曲线所围成的区域，设选定了曲面的另一侧，从而也确定了它的定向。现将有向曲面以任何方法分割为小块。设为在平面上的投影，从而也得到区域的一个相应分割。如果选的是上侧，这是所有算作正的，如取下侧，这时所有算作负的。设有界函数定义在上，在每一小块内任取一点，作和式：其中表示的面积。由上所述，是带有符号的，它们的符号是有所选的曲面的侧来决定的。设为的直径，记。若当时，有确定极限，且与曲面分割的方法无关，也与点的选择无关，则称为沿曲面的选定的一侧上的第二类曲面积分，记为若将投射到平面上或平面上，可得到类似的两个第二类曲面积分： 或 有时也遇到以上几个积分连在一起的情形，例如：其中都是定义在曲面上的有界函数注意：第二类曲面积分与曲面的定侧有关，如果改变定侧，则积分值也改变符号，而第一类曲面积分的值与曲面的定侧无关。若曲面垂直于平面，则不形成平面区域，此时，3、两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算两类曲面积分的定义是不同的，然而它们也有密切关系，可以