高中数学 第1章 数列3等比数列同步教学案 北师大版必修

1、3等比数列3.1等比数列(一)课时目标1.理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列.2.掌握等比数列的通项公式并能简单应用.3.掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题1如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的_都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示(q0)2等比数列的通项公式： _.3等比中项的定义如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的_，且G_.一、选择题1在等比数列an中，an0，且a21a1，a49a3，则a4a5的值为()A16 B27 C36 D812已知等比数列an满足a1a23，a2a36，

2、则a7等于()A64 B81 C128 D2433已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于()A1 B1C32 D324如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac9 Db3，ac95一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为()A. B. C. D.6若正项等比数列an的公比q1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于()A. B.C. D不确定二、填空题7已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an_.8设数列an为公比q1的等比数列，若a4，a5是方程4x28x30的两根，则a6a7_

3、.9首项为3的等比数列的第n项是48，第2n3项是192，则n_.10一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是_三、解答题11已知an为等比数列，a32，a2a4，求an的通项公式12已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1) (nN)(1)求a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列能力提升13设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1,2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则6q_.14已知数列an满足a11，an12an1，(1)求证：数列an1是等比数列；(2)求an的表达式1等比数列的判断或证明(1)利用定义：q (与n无关的常

4、数)(2)利用等比中项：aanan2 (nN)2等比数列an的通项公式ana1qn1共涉及an，a1，q，n四个量已知其中三个量可求得第四个3等比数列31等比数列(一)答案知识梳理12比公比q2.ana1qn1(a10，q0)3等比中项作业设计1B由已知a1a21，a3a49，q29.q3(q3舍)，a4a5(a3a4)q27.2Aan为等比数列，q2.又a1a23，a11.故a712664.3C设等比数列an的公比为q，a1，a3,2a2成等差数列，a3a12a2，a1q2a12a1q，q22q10，q1.an0，q0，q1.q2(1)232.4Bb2(1)(9)9且b与首项1同号，b3，且

5、a，c必同号acb29.5A设这个数为x，则(50x)2(20x)(100x)， 解得x25，这三个数45,75,125，公比q为.6Aa3a62a5，a1q2a1q52a1q4，q32q210，(q1)(q2q1)0 (q1)，q2q10，q (q1)，则(aq2)2(aq)2a2，q2.较小锐角记为，则sin .11解设等比数列an的公比为q，则q0.a2，a4a3q2q，2q.解得q1，q23.当q时，a118，an18n1233n.当q3时，a1，an3n123n3.综上，当q时，an233n；当q3时，an23n3.12(1)解由S1(a11)，得a1(a11)，a1.又S2(a21

6、)，即a1a2(a21)，得a2.(2)证明当n2时，anSnSn1(an1)(an11)，得，又，所以an是首项为，公比为的等比数列139解析由题意知等比数列an有连续四项在集合54，24，18,36,81中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故24,36，54,81，符合题意，则q，6q9.14(1)证明an12an1，an112(an1)，2.an1是等比数列，公比为2，首项为2.(2)解由(1)知an1是等比数列公比为2，首项a112.an1(a11)2n12n.an2n1.3.1等比数列(二)课时目标1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式.2.掌握等比数列的性质，能用性质

7、灵活解决问题1一般地，如果m，n，k，l为正整数，且mnkl，则有_，特别地，当mn2k时，aman_.2在等比数列an中，每隔k项(kN)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为_数列3如果an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|.一、选择题1在等比数列an中，a11，公比|q|1.若ama1a2a3a4a5，则m等于()A9 B10C11 D122已知a，b，c，d成等比数列，且曲线yx22x3的顶点是(b，c)，则ad等于()A3 B2 C1 D23若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，

8、c的等差中项，则()A4 B3 C2 D14已知各项为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6等于()A5 B7C6 D45在由正数组成的等比数列an中，若a4a5a63，log3a1log3a2log3a8log3a9的值为()A. B.C2 D36在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则等于()A. B.C. D.二、填空题7在等比数列an中，a11，a516，则a3_.8已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2_.9在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为_10已知数列1，a1，a2，4

9、成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是_三、解答题11有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数12设an、bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明数列cn不是等比数列能力提升13若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a3bc10，则a等于()A4 B2C2 D414互不相等的三个数之积为8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列1等比数列的基本量是a1和q，依据题目条件建立关于a1和q的方程(组)，然后解方程(组)，求得a1和q的值，再解决其它问题2

10、如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an0，an01，an02，使a2n01an0an02.3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要31等比数列(二)答案知识梳理1amanakala2.等比作业设计1C在等比数列an中，a11，ama1a2a3a4a5aq10q10.ama1qm1qm1，m110，m11.2By(x1)22，b1，c2.又a，b，c，d成等比数列，adbc2.3C设等比数列公比为q.由题意知：m，n，则2.4Aa1a2a3a5，a2.a7a8a9a10，a8.aa2a8，又数列an各项为正数，a5.a4a5a6a5.5A

11、a4a6a，a4a5a6a3，得a5.a1a9a2a8a，log3a1log3a2log3a8log3a9log3(a1a2a8a9)log3alog3.6D设公比为q，则由等比数列an各项为正数且an1an知0q1，由a2a86，得a6.a5，a4a6q5.解得q，()2.74解析由题意知，q416，q24，a3a1q24.86解析由题意知，a3a14，a4a16.a1，a3，a4成等比数列，aa1a4，(a14)2(a16)a1，解得a18，a26.98解析设这8个数组成的等比数列为an，则a11，a82.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1

12、a8)3238.10.解析1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，则a2a1d(4)(1)1，1，b1，b2，b3，4成等比数列，b(1)(4)4，b22.若设公比为q，则b2(1)q2，b20，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.S58(1).5C当n1时，a1S13k，当n2时，anSnSn1(3nk)(3n1k)3n3n123n1.由题意知an为等比数列，所以a13k2，k1.6D由a1a418和a2a312，得方程组，解得或.q为整数，q2，a12，S8292510.7解析显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.83解析

13、S64S3q33(q31不合题意，舍去)a4a1q3133.910解析Sn，341，q2，又ana1qn1，512(2)n1，n10.102n1解析当n1时，S12a11，a12a11，a11.当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)an2an1，an是等比数列，an2n1，nN.11解a3an2a1an，a1an128，解方程组得或将代入Sn，可得q，由ana1qn1可解得n6.将代入Sn，可得q2，由ana1qn1可解得n6.故n6，q或2.12解分x1和x1两种情况(1)当x1时，Sn123n.(2)当x1时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1

14、，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1.Sn.综上可得Sn.13证明设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，则Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)当q1时，则Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)14解(1)由题意，Sn2n24，n2时，anSnSn12n22n12n1，当n1时，a1S12344，也适合上式

15、，数列an的通项公式为an2n1，nN.(2)bnanlog2an(n1)2n1，Tn222323424n2n(n1)2n1，2Tn223324425n2n1(n1)2n2.得，Tn232324252n1(n1)2n223(n1)2n22323(2n11)(n1)2n2(n1)2n2232n1(n1)2n22n2n2n2.3.2等比数列的前n项和(二)课时目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.能用等比数列的前n项和公式解决实际问题1等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn_；当q1时，Sn_.2等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如Sm、S2mSm、S3mS2

16、m)仍构成_数列(注意：q1或m为奇数)(2)SmnSmqmSn(q为数列an的公比)(3)若an是项数为偶数、公比为q的等比数列，则_.3解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型一、选择题1已知数列an的前n项和为Sn2n1，则aaa等于()A(2n1)2 B.(2n1)2C4n1 D.(4n1)2数列1,12,124，1242n1，的前n项和为()A2n1 Bn2nnC2n1n D2n1n23已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为()A.或5 B.或5C. D.4一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到

17、原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)()A300米 B299米 C199米 D166米5在等比数列中，S3013S10，S10S30140，则S20等于()A90 B70 C40 D306某市决定从2010年1月1日起到2015年1月1日五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2010年底更新现有总车辆数的(参考数据：1.141.46,1.151.61)()A10% B16.4%C16.8% D20%题号123456答案二、填空题7设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q_.8一个蜂巢里有一只蜜蜂

18、，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_只蜜蜂9等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则an的公比为_10在等比数列an中，已知S448，S860，则S12_.三、解答题11为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出

19、口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.9100.35.12某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg 6572.82，lg 20.30，lg 30.48)能力提升13有纯酒精a L(a1)，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精_L.14现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1

20、万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.1102.594,1.31013.79)1准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误2利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题32等比数列的前n项和(二)答案知识梳理1.na12.(1)等比(3)q作业设计1D易知an为等比数

21、列且an2n1，a也是等比数列，a1，公比为4.aaa(4n1)2D1242n12n1，Sn(21222n)nn2n1n2.3C若q1，则由9S3S6得93a16a1，则a10，不满足题意，故q1.由9S3S6得9，解得q2.故ana1qn12n1，()n1.所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5.4A小球10次着地共经过的路程为100100501008299300(米)5Cq1 (否则S303S10)，由，q20q10120.q103，S20S10(1q10)10(13)40.6B该市出租车总数记为1，设2010年底更新其中x部分，则x1.1x1.12x1.13x1.14x1，x(11.11.121.131.14)116.4%.71解析SnSn1an，又Sn是等差数列an为定值q1.8729解析每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a13，q3，第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a636729(只)9.解析由已知4S2S13S3，即4(a1a2)a13(a1a2a3)a23a3，an的公比q.1063解析方法一S82S4，q1.由已知得得1qn，即qn. 将代入得64，所以S3n