自考经管类 线性代数

1、第一部分行列式本章概述 行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。大纲中规定的比例07.4全国统考试题07.7全国统考试题07.10全国统考试题直接考行列式这一章的13%左右11%11%15%再加上其余各章中必须应用行列式计算的34%29%21%1.1行列式的定义1.1.1二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1.求二元一次方程组的解。【答疑编号】解：应用消元法得当时。得同理得定义 称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。记为。于是 由此可知。若。则二元

2、一次方程组的解可表示为：例2【答疑编号】二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。使得当后将消去。得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出。在（6），（7）的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。 定义1.1.1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为;类似地得 这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。例3 计算【答疑编号】例4 （1）【答疑编号】（2）【答疑编号】例5 当x取何值时，？【答疑编号】为将此结果推广到n元一次方程组。需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。1.1.2阶行列式的定义定义1.1.

3、2 当n时，一阶行列式就是一个数。当时，称为n阶行列式。定义（其所在的位置可记为的余子式的代数余子式。定义 为该n阶行列式的值。即。容易看出，第j列元素的余子式和代数余子式都与第j列元素无关；类似地，第i行元素的余子式和代数余子式都与第i行元素无关。n阶行列式为一个数。例6 求出行列式第三列各元素的代数余子式。【答疑编号】例7 （上三角行列式）【答疑编号】1.2行列式按行（列）展开定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）例1 下三角行列式主对角线元素的乘积。【答疑编号】例2 计算行列式【答疑编号】例3 求n阶行列式【答疑编号】小结 1.行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。2.二阶行列式的

4、定义。3.阶行列式的定义。即。4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。作业p8 习题1.1 1（1）（2）（3）（5）（6），3作业 p11习题1.2 1，2，3（1），（2），41.3行列式的性质及计算1.3.1行列式的性质给定行列式将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。性质1 转置的行列式与原行列式相等。即性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。性质3 行列式的两行（列）互换，行列式

5、的值改变符号。以二阶为例设推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。证 设中，第i行与第j行元素完全相同，则所以，D=0。性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，即只要看注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。可见性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不变。证.1.3.2行列式的计算人们认识事物的基本方法是化未知为已知。对行列式，先看何为已知，（1）二，三阶行列式的计算；（2）三角形行列式的计算。因此，我们计算行列式的基本

6、方法是利用行列式的性质把行列式化为三角形，或降阶。例1 计算【答疑编号】在行列式计算中如何造零是个重要技巧，主要是应用性质6。例2 计算【答疑编号】例3 计算【答疑编号】例4 计算【答疑编号】例5 计算【答疑编号】扩展计算【答疑编号】例6 计算【答疑编号】方法1方法2扩展：计算【答疑编号】例7 计算【答疑编号】例8 计算【答疑编号】扩展：计算【答疑编号】例9 计算n阶行列式 【答疑编号】解 按第一列展开，得例10 范德蒙行列式【答疑编号】.【答疑编号】例11 计算【答疑编号】例12 证明【答疑编号】小结1.准确叙述行列式的性质；2.应用行列式的性质计算行列式的方法（1）低阶的数字行列式和简单的

7、文字行列式；（2）各行元素之和为相同的值的情况（3）有一行（列）只有一个或两个非零元的情况作业 p22 习题1.3 1（1）（3），2，5，6（1）（3）（4）（5）（10）（11）（12） 1.4克拉默法则这一节将把二元一次方程组解的公式推广到n个未知数，n个方程的线性方程组。为此先介绍下面的定理。定理1.4.1 对于n阶行列式证 由定理1.2.1知 ，注意改变第二列的元素，并不改变第二列元素的代数余子式类似地，可证明该定理的剩余部分。定理1.4.2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组 的系数行列式 则方程组有惟一的解: 其中 证明从略例1.求解【答疑编号】把克拉默法则应用到下面的齐次方程

8、组有定理1.4.3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D0，则该方程组只有零解，没有非零解。推论如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。事实上，以后我们将证明对于由n个未知数n个方程的齐次方程组，系数行列式D=0，不仅是该齐次方程组有非零解的必要条件，也是充分条件,即若系数行列式D=0,则齐次方程组必有非零解。例2判断线性方程组是否只有零解【答疑编号】例3当k为何值时，齐次方程组没有非零解？【答疑编号】例4问当 取何值时,齐次方程组有非零解?【答疑编号】1.定理1.4.1 对于，有2.n个未知数,n个方程的线性方程组的克拉默法则。以及n个未知数, n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。作业 p28 习题1.4 1（1）（2）（3）3第一章小结基本概念1.行列式中元素的余子式和代数余子式。2.行列式的定义基本公式1.行列式按一行(一列)展开的定理；2.行列式的性质；3.行列式中任一行(列)与另一行(列)的代数余子式乘积的和=0；4.克拉默法则5.n个未知数,n个方程的齐次方程组有非零