高考数学文天津专用二轮复习课件232利用导数解不等式及参数范围

1、二、利用导数解不等式及参数范围,-2-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,利用导数证明不等式 【思考】 如何利用导数证明不等式? 例1已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1. (1)求a的值及函数f(x)的极值; (2)求证:当x0时,x2ex.,-3-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(1)解：由题意可知点A(0,1). 由f(x)=ex-ax,得f(x)=ex-a. 所以f(0)=1-a=-1,得a=2. 所以f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2. 令f(x)=0,得x=ln 2, 当xln 2时,f(x)0,f(x

2、)单调递增. 所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,极小值为f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4.f(x)无极大值. (2)证明：令g(x)=ex-x2,则g(x)=ex-2x. 由(1)得g(x)=f(x)f(ln 2)=2-ln 40, 则g(x)在R上单调递增. 因为g(0)=10,所以当x0时,g(x)g(0)0,即x2ex.,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思利用导数证明不等式,主要是构造函数,通过导数判断函数的单调性,由函数的单调性证明不等式成立,或通过求函数的最值,当该函数的最大值或最小值对不等式成立时,则不等式是恒成立,从而可将不等式的证明转化为求

3、函数的最值.,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练1设函数f(x)=e2x-aln x. (1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数; (2)证明:当a0时,f(x)2a+aln .,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(2)证明：由(1),可设f(x)在(0,+)内的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0. 故f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+)内单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,利用导数解与不等式恒成立有关的问题 【思考】 求解不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题

4、的基本方法有哪些? 例2(2016江苏高考)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1). (1)设a=2,b= . 求方程f(x)=2的根; 若对于任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值; (2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点, 而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0, 所以0是函数g(x)的唯一零点. 因为g(x)=axln a+bxln b, 又由01知ln a0, 所以g(x

5、)=0有唯一解x0=lo g ln ln . 令h(x)=g(x),则h(x)=(axln a+bxln b)=ax(ln a)2+bx(ln b)2, 从而对任意xR,h(x)0, 所以g(x)=h(x)是(-,+)上的单调增函数. 于是当x(-,x0)时,g(x)g(x0)=0. 因而函数g(x)在(-,x0)上是单调减函数,在(x0,+)上是单调增函数.,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思1.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的解题方法是依据不等式的特点,进行等价变形.构造函数,借助图象观察或参变分离,转化为求函数的最

6、值问题来处理.如不等式f(x)g(x)恒成立的处理方法一般是构造F(x)=f(x)-g(x),F(x)min0;或分离参数,将不等式等价变形为ah(x)或ah(x),进而转化为求函数h(x)的最值.,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练2已知函数f(x)=4x-x4,xR. (1)求f(x)的单调区间; (2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的实数x,都有f(x)g(x); (3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x1x2,求证:x2-x1,(1)解：由f(x)=4x-x4,可得f(x)=4-

7、4x3. 当f(x)0,即x1时,函数f(x)单调递减. 所以,f(x)的单调递增区间为(-,1),单调递减区间为(1,+).,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(2)证明：设点P的坐标为(x0,0),则x0= ,f(x0)=-12.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f(x0)(x-x0),即g(x)=f(x0)(x-x0).令函数F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f(x0)(x-x0),则F(x)=f(x)-f(x0). 由于f(x)=-4x3+4在(-,+)上单调递减,故F(x)在(-,+)上单调递减.又因为F(x0)=0,所以当x(-,x0)时,F(x

8、)0,当x(x0,+)时,F(x)0,所以F(x)在(-,x0)上单调递增,在(x0,+)上单调递减,所以对于任意的实数x,F(x)F(x0)=0,即对于任意的实数x,都有f(x)g(x).,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,利用导数解函数中的探索性问题 【思考】 解决探索性问题的常用方法有哪些? 例3设函数f(x)定义在(0,+)上,f(1)=0,导函数f(x)= , g(x)=f(x)+f(x). (1)求g(x)的单调区间和最小值. (2)讨论g(x)与g 的大小关系. (3)是否存在x00,使得|g(x)-g(x0)|0成立?若

9、存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,当x(0,1)时,g(x)0,则(1,+)是g(x)的单调递增区间. 所以x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点, 故最小值为g(1)=1.,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思解决探索性问题的常用方法: (1)从最简单、最特殊的情况出发,有时也可借助直觉观察或判断,推测出命题的结论,必要时给出严格证明. (2)假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在;若推出矛盾,则结论不存在. (3)使用等价转化思想,找出命题成立的

10、充要条件.,-19-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练3设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)= .已知曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线2x-y=0平行. (1)求a的值. (2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由. (3)设函数m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.,解：(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为2, 所以f(1)=2.,-20-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-21-,命题热点一

11、,命题热点二,命题热点三,-22-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-23-,规律总结,拓展演练,1.无论不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝. 2.当利用导数求解含参问题时,首先,要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次,要灵活掌握各种解题方法和运算技巧,比如参变分离法,分类讨论思想和数形结合思想等.当涉及极值和最值问题时,一般情况下先求导函数,然后观察能否分解

12、因式,若能,则比较根的大小,并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号,划分单调区间,判断函数大致图象;若不能,则考虑二次求导,研究函数是否具有单调性.,-24-,规律总结,拓展演练,1.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导函数f(x)在R上恒有f(x)1,则不等式f(x)x+1的解集为() A.(-,-1)B.(1,+) C.(-1,1)D.(-,-1)(1,+),答案,解析,-25-,规律总结,拓展演练,2.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y= x垂直的切线,则实数m的取值范围是.,答案,解析,-26-,规律总结,拓展演练,3.若函数f(x)=2ln x+x2-5x+c在区间(m,m+1)内为减函数,则m的取值范围是.,答案,解析,-27-,规律总结,拓展演练,4.已知函数f(x)= x2-ax+(a-1)ln x,a1. (1)求f(x)的单调区间; (2