高考复习数列通项公式的几种求法及高考真题

1、数列通项公式的求法1.观察法：已知数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面来考虑，一是对数列的项进行分拆以后，寻找分拆项之间的规律；二是如果数列中出现正负项相间的话，则需用或来调节；三是和等差与等比数列相联系，利用特殊数列求解。例1、求下列数列的一个通项公式。 1，0，1，03，33，333，3333 11，103，1005，100072前n项和法（知求） 1、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。2、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。3、已知数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。3.形如型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(

2、n)为n的函数时，用累加法.例 1.已知数列an满足,证明例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 例3.已知数列满足，求此数列的通项公式.注意：形如型（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.例1. 数列满足,求数列an的通项公式.4.形如型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 例1、在数列中 ，求数列的通项公式。练

3、习、在数列中，求。5.形如型（取倒数法）例1. 已知数列中，求通项公式 例2若数列中，求通项公式.6形如,其中)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列为等差数列;（2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,利用待定系数法求出A例1已知数列中，求通项.练习.若数列中，,求通项公式。7.形如型（构造新的等比数列）(1)若(其中q是常数，且n0,1)若p=1时，即：，累加即可若时，即：，后面的待定系数法也用指数形式。两边同除以 . 即： ,令,则可化为.然后转化为类型6来解，1、已知，求。2、已知数列中，求通项公式。8

4、.形如(其中p,q为常数)型（1）当p+q=1时 用转化法例1.数列中，若,且满足,求.（2）当时 用待定系数法.例2. 已知数列满足，且,且满足,求.9. 形如(其中p,r为常数)型（1）p0， 用对数法.（2）p0， 用对数法.（2）p0时 用迭代法.例1. 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，则 是以2为公比的等比数列， ，练习 数列中，（n2），求数列的通项公式.答案：例2（江西2005）已知数列，（1）证明 （2）求数列的通项公式an.解：（1）略（2）所以 又bn=1，所以.方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c，则c,转化

5、为上面类型（1）来解.练习：1.（2014全国大纲卷.文17）数列满足，.（）设，证明是等差数列；（）求的通项公式；2（全国II）设等比数列的前n项和为，解：设的公比为q，由，所以得由、式得整理得解得所以 q2或q2将q2代入式得，所以将q2代入式得，所以3（全国卷I）已知为等比数列，求的通项式。解: 设等比数列an的公比为q, 则q0, a2= = , a4=a3q=2q所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3, 当q1=, a1=18.所以 an=18()n1= = 233n. 当q=3时, a1= , 所以an=3n1=23n3. 4（安徽卷）在等差数列中，前项和满足条件， 求数

6、列的通项公式；解：设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又，所以。5（辽宁卷）已知等差数列的前项和为求q的值；解法一：当时，,当时,.是等差数列,4分解法二：当时,当时,.当时,.又,所以,得4分6（全国卷I）设数列的前项的和，求首项与通项；解: 由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,7.（福建卷）已知数列a满足a=1,a=2a+1(nN)求数列a的通项公式；解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。 解：是以为首项，2为公比的等比数列。即8（福建卷）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得9（江西卷）已知数列an满足：a1，且an求数列an的通项公式；解： 将条件变为：1，因此1为一个等比数列