2018年高考数学二轮复习 专题05 不等式与线性规划教学案 理

1、专题05 不等式与线性规划与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点2018高考备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力1.熟记比较实数大小的依据与基本方法作差(商)法；利用函数的单调性2特别注意熟记活用以下不等式的基本性质(1)乘法法则：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd；(3)同向可乘性：ab0，cd0acbd；(4)乘方法则：ab0anbn(nN，n2)；3熟

2、练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值4牢记常见类型不等式的解法(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解5简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域(2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解考点一不等式性质及解不等式例1、(1)不等式组的解集为()Ax|2x1Bx|1x0Cx|0x1 Dx|x1解析：基本法：由x(x2)0得x0或x2；由|x|1得

3、1x1，所以不等式组的解集为x|0x1，故选C.答案：C (2)设函数f(x)ln(1|x|)，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围是()A.B.(1，)C. D.速解法：令x0，f(x)f(0)10.f(2x1)f(1)ln 2ln 2ln 0.不适合f(x)f(2x1)，排除C.令x2，f(x)f(2)ln 3，f(2x1)f(3)，由于f(x)ln(1|x|)在(0，)上为增函数f(2)f(3)，不适合排除B、D，故选A.答案：A考点二基本不等式及应用例2、【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】因为，且，所以 ，所以选B.

4、 【变式探究】(1)若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2 B3C4 D5答案：C (2)定义运算“”：xy(x，yR，xy0)当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_解析：基本法：xy(2y)x，x0，y0，2，当且仅当，即xy时等号成立，故所求最小值为.答案：考点三求线性规划中线性目标函数的最值例3、【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】x、y满足约束条件的可行域如图： 【变式探究】(1)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_解析：基本法：作出可行域，如图：由zxy得yxz，当直线yxz过点A时，z取得最

5、大值，zmax1.速解法：由得点(2，1)，则z3由得点(0,1)，则z1由得点则z.答案： (2)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A5 B3C5或3 D5或3解析：基本法：二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线xay0，可知在点A处，z取得最小值，答案：B考点四线性规划的非线性目标函数的最值例4、(1)设x，y满足约束条件则的取值范围是()A1,5 B2,6C3,11 D3,10答案：C(2)(2016高考山东卷)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A4 B9C10 D12解析：基本法：先作出不等式组表示的平面区域，再求目标函数的最大值作出不等式组表

6、示的平面区域，如图中阴影部分所示x2y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，1)，由图易得(x2y2)max|OA|232(1)210.故选C.答案：C1.【2017北京，理4】若x，y满足 则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域， 2.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是A0，6B0，4C6，D4，【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D3.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B4.【2017课标II，理5】设，满足

7、约束条件，则的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由 解得A(6,3)，则z=2x+y的最小值是：15.故选：A.5.【2017山东，理4】已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6【答案】C【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，当其经过直线与的交点时，最大为，选C.6.【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（A） （B）1（C） （D）3【答案】D 1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )（A） （B） （C） （D）【答案】C

8、【解析】用特殊值法，令，得，选项A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误，故选C2.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.3.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则AB=（ ）A2 B4 C3 D【答案】C【解析】

9、如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，故选C5.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C6.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.7.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为_.【答案】8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、

10、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元【答案】【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么目标函数.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域.9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 .【答案】1.【2015高考北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）A0

11、B1CD2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.2【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）A B. 6 C. D. 4【答案】C 【解析】不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=x+，平移直线y=x+，则由图象可知当直线y=x+，经过点A时直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=31+2=，故选：B3.【2015高考天津，理2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C 4.【2015高考

12、陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A12万元 B16万元 C17万元 D18万元甲乙原料限额（吨）（吨）【答案】D当直线过点时，取得最大值，所以，故选D5.【2015高考福建，理5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )A B C D2【答案】A6.【2015高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图

13、中的阴影部分所示，若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B.7.【2015高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.8.【2015高考浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 【答案】.9【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件，则的最大值为_【答案】【考点定位】线性规划10.【2015高考湖南，理4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.2

14、【答案】A.【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，故选A.11.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B12.【2015高考陕西，理9】设，若，则下列关系式中正确的是（ ）A B C D【答案】C【解析】，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C1. 【2014高考安徽卷理第5题】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）A, B. C.2或1 D.【答案】D【考点定位】线性规划2. 【2014高考北京版理第6题】若、满足，

15、且的最小值为，则的值为（ ）A2 B C D【答案】D【解析】若，没有最小值，不合题意；【考点定位】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值3. 【2014高考福建卷第11题】若变量满足约束条件则的最小值为_.【答案】1【解析】依题意如图可得目标函数过点A时截距最大.即.【考点定位】线性规划.4. 【2014高考福建卷第13题】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）.【答案】88 【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.【考点定位】函数的最

16、值.5. 【2014高考广东卷理第3题】若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，【考点定位】线性规划中线性目标函数的最值6. 【2014高考湖南卷第14题】若变量满足约束条件，且的最小值为，则.【答案】【考点定位】线性规划7. 【2014辽宁高考理第16题】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 . 【答案】【解析】法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即因为关于的二次方程有实根，所以，可得，取最大值时，或，当时，当时，综上可知当时，【考点定位】柯西不等式. 8. 【20

17、14全国1高考理第9题】不等式组的解集为D,有下面四个命题：， ， ，其中的真命题是（ ）A B C D【答案】B【考点定位】线性规划、存在量词和全称量词10. 【2014山东高考理第5题】已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（ ）A. B.C. D.【答案】【解析】由及指数函数的性质得，所以，选.【考点定位】指数函数的性质，不等式的性质.11. 【2014山东高考理第9题】 已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）A.5 B.4 C. D.2【答案】【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直【考点定位】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.

18、12. 【2014四川高考理第4题】若，则一定有（ ）A B C D4若，则一定有（ ）A B C D【答案】D【解析】，又.选D【考点定位】不等式的基本性质.13. 【2014四川高考理第5题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（ ）A B C D 【答案】C【考点定位】程序框图与线性规划.14. 【2014浙江高考理第13题】当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】作出不等式组所表示的区域，由得，由图可知，且在点取得最小值在取得最大值，故，故取值范围为【考点定位】线性规划.15. 【2014天津高考理第2题】设变量，满足约束条件则目标函数的最小值

19、为 （）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线性目标函数的最值问题16. 【2014大纲高考理第14题】设满足约束条件，则的最大值为 .【答案】5.【考点定位】二元一次不等式组表示的平面区域、线线目标函数的最值的计算17. 【2014高考上海理科】若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为_.【答案】【解析】，当且仅当时等号成立.【考点定位】基本不等式.18.【2014高考安徽卷第21题】设实数，整数， .（1）证明：当且时，；（2）数列满足，证明：.【答案】（1）证明：当且时，；（2）.【解析】（1）证明：用数学归纳法证明当时，原不等式成

20、立.假设时，不等式成立.当时，所以时，原不等式也成立.综合可得，当且时，对一切整数，不等式均成立.再由可得，即.综上所述，.证法2：设，则，并且.由此可得，在上单调递增，因而，当时，.当时，由，即可知，并且，从而.故当时，不等式成立.假设时，不等式成立，则当时，即有.所以当时，原不等式也成立.综合可得，对一切正整数，不等式均成立.【考点定位】数学归纳法证明不等式、构造函数法证明不等式.1若点A(a，b)在第一象限且在直线x2y4上移动，则log2alog2b()A有最大值2 B有最小值1C有最大值1 D没有最大值和最小值解析：基本法：由题意，知a2b4(a0，b0)，则有4a2b2，当且仅当a2b，即a