高中数学 2.5.1等比数列的前n项和导学案（含解析）新人教版必修

1、第二章第五节等比数列前n项和目标定位：1.了解等比数列前n项和公式的推导过程，掌握等数列的五个基本量之间的关系。 2.掌握等比数列前N项和公式，性质及其应用。（重点） 3.能应用错位相减法对数列求和。（难点）等比数列的前n项和公式提出问题已知等比数列an，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sna1a2ana1a1qa1q2a1qn1.问题1：若q1，则Sn与a1有何关系？提示：Snna1.问题2：若q1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？提示：Sna1a1qa1q2a1qn1两边同乘以q，可得：qSna1qa1q2a1qn1a1qn得：(1q)Sna1a1qn，当q1时，Sn.导入新知等比

2、数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项an与公比q公式SnSn化解疑难1在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q1或q1)2当q1时，若已知a1及q，则用公式Sn较好；若已知an，则用公式Sn较好等比数列的前n项和公式的基本运算例1在等比数列an中，(1)若a11，a516，且q0，求S7；(2)若Sn189，q2，an96，求a1和n；(3)若a3，S3，求a1和公比q.解(1)因an为等比数列且a11，a516a5a1q416q4q2(负舍)S7127.(2)法一：由Sn，ana1qn1以及已知条件得a12n192，2n.189a1(2n1)a1，a13

3、.又2n132，n6.法二：由公式Sn及条件得189，解得a13，又由ana1qn1，得9632n1，解得n6.(3)当q1时，S3，又a3a1q2，a1(1qq2)，即(1qq2)，解得q(q1舍去)，a16.当q1时，S33a1，a1.综上得或类题通法在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用活学活用1在等比数列an中，(1)若q2，S41，求S8.(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5；

4、解：(1)设首项为a1，q2，S41，1，即a1，S817.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即a10,1q20，得，q3，即q，a18.a4a1q3831，S5等比数列前n项和的性质例2设等比数列an的前n项和为Sn，已知S42，S86，求a17a18a19a20的值解由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8S4，S12S8，S4nS4n4，成等比数列由题意可知上面数列的首项为S42，公比为2，故S4nS4n42n(n2)，所以a17a18a19a20S20S162532.类题通法等比数列前n项和的重要性质(1)等比数列an的前n项和Sn，满足Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3

5、n，成等比数列(其中Sn，S2nSn，S3nS2n，均不为0)，这一性质可直接应用(2)等比数列的项数是偶数时，q；等比数列的项数是奇数时，q.活学活用2(1)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A2B.C. D3解析：(1)设公比为q(q0)，则题意知q1，根据等比数列前n项和的性质，得1q33，即q32.于是.答案：B(2)等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.解析：由题意知：公比q2.答案：2等比数列的综合应用例3等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.解(1)S1，

6、S3，S2成等差数列，2S3S1S2，显然an的公比q1，于是a1，即2(1qq2)2q，整理得2q2q0，q(q0舍去)(2)q，又a1a33，a1a1()23，解得a14.于是Sn.类题通法在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的关键活学活用3已知数列an的前n项和Sn2nn2，anlog5bn，其中bn0，求数列bn的前n项和Tn.解：当n2时，anSnSn1(2nn2)2(n1)(n1)22n3，当n1时，a1S121121也适合上式，an的通项公式an2n3(nN*)又anlog5bn，log5bn2n3，于

7、是bn52n3，bn152n1，52.因此bn是公比为的等比数列，且b15235，于是bn的前n项和Tn.随堂即时演练1数列2n1的前99项和为()A21001B12100C2991 D1299解析：选C数列2n1为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S992991.2等比数列an中，a33S22，a43S32，则公比q等于()A2B.C4D.解析：选Ca33S22，a43S32，等式两边分别相减得a4a33a3即a44a3，q4.3已知等比数列an中，q2，n5，Sn62，则a1_.解析：q2，n5，Sn62，62，即62，a12.答案：24等比数列an的前5项和S510，前10项和S1050，则它的前15项和S15_.解析：由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，故(S10S5)2S5(S15S10)，即(5010)210(S1550)，解得S15210.答案：2105在等比数列an中，(1