高中数学第二章概率2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望课堂探究教案新人教B版选修

1、2.3.1 离散型随机变量的数学期望课堂探究探究一 求离散型随机变量的数学期望解决求离散型随机变量的数学期望问题的关键是求出分布列，只要求出离散型随机变量的分布列，就可以套用数学期望的公式求解对于aXb型随机变量的数学期望，可以利用数学期望的性质求解，也可以求出aXb的分布列，再用定义求解【典型例题1】 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分、对方

2、得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望思路分析：(1)利用相互独立事件的概率求解(2)先列出X的所有值，并求出每个X值所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望解：(1)记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)3，P(A2)C2，P(A3)C22.所以，甲队以30胜利、以31胜利的概率都为，以32胜利的概率为.(2)设“乙队以32胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)C22.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P

3、(A1)P(A2)，又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2).故X的分布列为X0123P所以E(X)0123.探究二 特殊分布的数学期望解决此类问题，首先应依据二项分布、二点分布及超几何分布的特点，判断随机变量属于哪一种分布，再写出随机变量的分布列，然后利用特殊分布的数学期望公式求解【典型例题2】 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响求移栽的4棵大树中：(1)两种大树各成活1棵的概率；(2)成活的棵数的分布列与数学期望思路分析：本题主要考查独立重复试验和分布列的应用，求解时可

4、由二项分布求数学期望解：设Ak表示甲种大树成活k棵，k0,1,2，Bl表示乙种大树成活l棵，l0,1,2，则Ak，Bl(k，l0,1,2)相互独立，由独立重复试验中事件发生的概率公式，得P(Ak)Ck2k，P(Bl)Cl2l.据此算得：P(A0)，P(A1)，P(A2)，P(B0)，P(B1)，P(B2).(1)所求概率为P(A1B1)P(A1)P(B1).(2)(方法1)的所有可能值为0,1,2,3,4，P(0)P(A0B0)，P(1)P(A0B1)P(A1B0)，P(2)P(A0B2)P(A1B1)P(A2B0)，P(3)P(A1B2)P(A2B1)，P(4)P(A2B2).综上知的分布列

5、为01234P从而，的数学期望为E()01234(棵)(方法2)分布列的求法同方法1，令1，2分别表示甲、乙两种大树成活的棵数，则1B，2B，所以E(1)2(棵)，E(2)21(棵)，所以E()E(1)E(2)1(棵)探究三 期望的应用解决数学期望的应用问题，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件发生的可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，随机变量的数学期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平在实际问题的决策中，往往把数学期望最大的方案作为最佳方案进行选择【典型例题3】 某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：投

6、资A项目一年后获得的利润X1(万元)的分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的数学期望E(X1)12.投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0p1)和1p.经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示：X(次)012X2(万元)4.1211.7620.40(1)求a，b的值(2)求X2的分布列(3)若E(X1)E(X2)，则选择投资B项目，求此时p的取值范围思路分析：(1)由分布列的性质及数学期望的计算公式列方

7、程组求解(2)利用相互独立事件同时发生的概率求解(3)利用数学期望公式列出不等式求解解：(1)由题意得解得a0.5，b0.1.(2)X2的可能取值为4.12,11.76,20.40.P(X24.12)(1p)1(1p)p(1p)，P(X211.76)p1(1p)(1p)(1p)p2(1p)2，P(X220.40)p(1p)所以X2的分布列为X24.1211.7620.40Pp(1p)p2(1p)2p(1p)(3)由(2)可得E(X2)4.12p(1p)11.76p2(1p)220.40p(1p)p2p11.76.因为E(X1)E(X2)，所以12p2p11.76.所以0.4p0.6.当选择投资B项目时，p的取值范围是(0.4,0.6)探究四 易错辨析易错点：对随机变量X取值的意义理解错误而致误【典型例题4】 某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验若此人每次试验成功的概率均为，且各次试验互不影响求此人试验次数X的数学期望错解：试验次数X的可能取值为X1,2,3，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的概率分布如下表所示X123P所以E(X)123.错因分析：错误的主要原因是没有明确随机变量X的取值意义，X1表示一次试验就成功，X2表示第一次失败，第二次成功，由于试验最多进行3次，所以X