常见递推数列通项的求法 (很齐全)

1、常见递推数列通项的求法类型一： 思路1（递推法）：。思路2（叠加法）：，依次类推有：、，将各式叠加并整理得，即。例1 已知，求。解：方法1（递推法）：。方法2（叠/累加法）：，依次类推有：、，将各式叠加并整理得，。例2、在数列中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则 ，逐项相加得：.故.例3在数列中，且，求通项.解：依题意得，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若非常数，而是关于的一个解析式，可以肯定数列不是等差数列，将递推式中的分别用代入得个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。例4、已知数列

2、满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。练习：1、 已知满足，求的通项公式。2、 已知的首项，（）求通项公式。3、 已知中，求。. 4.若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式类型二： 思路1（递推法）：。思路2（叠/累乘法）：，依次类推有：、，将各式叠乘并整理得，即。例3 已知，求。解：方法1（递推法）：。方法2（叠乘法）：，依次类推有：、，将各式叠乘并整理得，即。例5在数列中，求通项.解：由条件等式得，得. 【评注】此题亦可构造特殊的数列，由得，则数列是以为首项，以1为公比的等比数列，得.例6、设数列是首项为1的正项数

3、列，且则它的通项公式是=（2000年高考15题）.解：原递推式可化为： =0 0， 则 ， 逐项相乘得：，即=.练习：1、已知：，（）求数列的通项。2、已知中，且求数列通项公式。类型三：解题思路：利用待定系数法，将化为的形式，从而构造新数列是以为首项，以为公比的等比数列.例7数列满足，求. 解：设，即对照原递推式，便有故由得，即，得新数列是以为首项，以2为公比的等比数列。（n=1,2,3），即通项【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“”作适当的分离，配凑成等比数列的结构，从而构造出一个新的等比数列。练习：1、已知满足，求通项公式。 2、已知中，（）求。同类变式 型思路（转化法）：，递推式两

4、边同时除以得，我们令，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。例8 已知，求。解：，式子两边同时除以得，令，则，依此类推有、，各式叠加得，即。例9. 设数列，求通项公式。解：设，则，所以，即。设这时，所以。由于bn是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。由此得：。说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。练习1、已知数列满足，且，求通项分析：（待定系数），构造数列使其为等比数列，即，解得求得2、已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+，即得数列的通项公式，最后

5、再求数列的通项公式。引申题目：1、已知中，（）求2、在数列中，求通项公式。解：原递推式可化为： 比较系数得=-4，式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2. 即.3、已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式4、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式6、已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=1，代入式，得由0及式，得，则

6、，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。类型四：（）取倒数思路（转化法）：对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。例10 已知，求。解：对递推式左右两边取倒数得即，令则。设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即，。练习1、，求解：即 则2、数列中，求的通项。解： 设 4、 在数列中，求5、 求类型五： （、）思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数列，我们可设（为待定系数，可利用、求得）

7、；当特征方程有两个不等实根、时，数列是以为首项的等比数列，我们可设（为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。例11 已知， （），求。解：当时，递推式对应的特征方程为即，解得、。数列是以为首项的等比数列，设，由得则，即，从而，。练习1数列求的通项公式.2已知数列满足性质：对于且求的通项公式.3已知数列满足：对于都有求。4已知中，（）求。类型六： （）取对数法思路（转化法）：对递推式两边取对数得，我们令，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。例12 已知，求。解：对递推式左右两边分别取对数得，令，则，即数列是以为首项，为公

8、比的等比数列，即，因而得。设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，则是以2为公比的等比数列，.，类型七： 思路（特征根法）：为了方便，我们先假定、。递推式对应的特征方程为，当特征方程有两个相等实根时， (、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程有两个不等实根时、时，(、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理，此处暂不作讨论。例13 已知、,求。解：递推式对应的特征方程为即，解得、。设，而、，即，解得，即。1：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故2已知数列满足,求3数列满足=0，求数列a的通项公式。类型八： （）思路1（构造法）：，设，则，从而解得。那么是以为首项，为公比的等比数列。思路2.先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例14 已知，求。解：设，则，解得，是以为首项，为公比的等比数列，即，。练习1已