高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 映射的概念课堂导学案 苏教版必修

1、2.3 映射的概念课堂导学三点剖析一、映射的概念【例1】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射?(1)设A=矩形,B=实数,对应法则f为矩形到它的面积的对应;(2)设A=实数,B=正实数,对应法则f为x;(3)设A=|0180,P=x|0x1,对应法则f为求余弦;(4)设A=(x,y)|xZ,|x|2,yN*,x+y3,B=0,1,2,对应关系为f:(x,y)x+y.解析:(1)这个对应是A到B的映射.因为它是单值对应.不过负实数在A中没有元素和它对应.(2)不是映射.因为当x=0时,集合B中没有元素与之对应.(3)不是映射.因为当=180或为钝角时,B中没有元素和它们对应.(4)应先明确

2、集合A.xZ且|x|2,x-1,0,1. 又yN*且x+y3,A=(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,1),(0,2),(1,1).f:(x,y)x+y,A中每个元素都在B=0,1,2中能找到唯一的元素与之对应.f:(x,y)x+y是从A到B的映射.温馨提示 根据映射的定义,映射应满足存在性(即集合A中每一个元素在集合B中都有对应元素)和唯一性(即集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的元素与之对应).在所有对应关系中一对一、多对一都是映射,但一对多不是映射.二、映射概念的应用【例2】 (1)已知集合A=R,B=(x,y)|x、yR,f:AB是从A到B的映射f:x(x+1,x2+1

3、),则在B中的对应元素为_,(,)在A中的对应元素是_.(2)已知集合A=1,2,3,k,B=4,7,a4,a2+3a且aN,kN,xA,yB,映射f:AB,使B中元素y=3x+1和A中元素x对应,求a及k的值.解析:(1)将x=代入对应关系,可求得其在B中的对应元素为(+1,3). 由得x=, 即(,)在A中的对应元素为.(2)B中元素y=3x+1和A中元素x对应,A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10, 即a4=10或a2+3a=10.aN,由a2+3a=10,得a=2.k的象是a4,3k+1=16,得k=5.答案:（1）(+1,3) （2）a=2,k=5温馨提示 根据映射的定义,结

4、合题中所给的对应关系,明确A中的每一个元素所对应的元素.有时需列方程(或方程组)求解.三、两集合的对应关系的应用【例3】 已知A=a,b,c,B=-1,0,1,映射f:AB满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f:AB的个数.思路分析:紧紧抓住映射f满足的条件f(a)+f(b)=f(c).由于符合条件的映射有多种类型.需进行分类讨论.可以就集合B中的有原象的元素个数进行分类讨论，也可以就f(c)的情况进行分类讨论.解:(1)当A中三个元素都是对应0时, 则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c),有一个映射.(2)当A中三个元素对应B中两个元素时,满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个

5、,分别为1+0=1,0+1=1,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1.(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时,有两个映射,分别是(-1)+1=0,1+(-1)=0. 因此满足题设条件的映射有7个.温馨提示 此题也可以这样进行分类讨论.(1)f(c)=-1.则有f(a)=-1,f(b)=0和f(a)=0，f(b)=-1两种.(2)f(c)=0，则有f(a)=f(b)=0和f(a)=-1，f(b)=1及f(a)=1,f(b)=-1三种.(3)f(c)=1与（1）相似有两种.因此共有7种不同的映射.各个击破类题演练 1下列对应是否是A到B的映射？是否是A到B的函数？（1）A=R，B=R，f:x

6、y=;（2）A=a|a=n,nN*,B=b|b=,nN*,f:ab=;（3）A=x|x0,xR,B=R，f:xy,y2=x;（4）A=平面M内的矩形，B=平面M内的圆，f:作矩形的外接圆.解析：（1）当x=0时，y值不存在，不是映射，也不是函数；（2）是映射，也是函数；（3）不是映射，因为是一对多的对应，也就不是函数；（4）是映射；因A、B不是数集，不是函数.变式提升 1指出以下各对应，哪些是映射，哪些不是映射？为什么？（1）已知A=平面上的圆，B=平面上的四边形，从A到B的对应法则是：作圆的内接四边形.(2)已知A=Z，B=Q，从A到B的对应法则是f:y=2x.(3)已知A=N，B=N，从A

7、到B的对应法则是f:y=|x-3|.(4)已知A=R，B=，从A到B的对应法则是f:y=x2.解析：（1）不是映射.因为圆内接四边形不唯一确定，即集合A的圆在集合B中对应的四边形不止一个.(2)是映射.（3）是映射.（4）是映射.温馨提示 要紧扣映射的定义，只要集合A中任一元素在集合B中有唯一元素对应，就可叫做映射.如果A中有两个或两个以上的元素对应B中同一元素（如（4），或B中尚有一些元素在A中没有原象（如（2），也是映射所允许的.类题演练 2已知（x,y）在映射f下的象是(x+y,x-y)，求象（1，2）在f下的原象.解析：由题意得象（1，2）的原象是（，-）.变式提升 2已知(x,y)在

8、映射f作用下的象是（x+y,xy）.（1）求（-2，3）在f作用下的象；（2）若在f作用下的象是(2，-3)，求它的原象.解析：（1）x=-2,y=3,x+y=-2+3=1,xy=(-2)3=-6.(-2,3)在f作用下的象是（1，-6）.（2）解这个方程组得(2,-3)在f作用下的原象是（3，-1）和（-1，3）.类题演练 3设M=a,b,c，N=-2，0，2.从M到N的映射满足f(a)f(b)f(c)，试确定这样的映射f的个数.解析：f(a)f(b)f(c)，可通过列表法求解:f(a)f(b)f(c)0-2-22-2-220-2200 故符合条件的映射f有4个.变式提升 3设集合M=-1,0,1,N=2,3,4,5,6,映射f:MN,对任意xM都有x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f的个数为（ ）A.24 B.27 C.50 D.125解析：从MN建立映射，分3步： 第一步给元素找象，并非是N中5个元素都行，还要满足x+f(x)+xf(x)为奇数这个条件.当x=0时