高考数学一轮复习讲练测专题3.4利用导数研究函数的极值最值（讲）（浙江版）（解析版）Word版含解析

1、【最新考纲解读】内 容要 求备注ABC导数函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有初步的，感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关问题中识别和认识它.理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明，用数学语言表达，利用所学的知识内容对有关问题作比较，判断，讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.掌握：要求对所列的知识内容能够推导证明，利用所学知识对问题能够进行分析，研究，讨论，并且加以解决.用导数

2、求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）【考点深度剖析】从近几年高考命题看，单独考查导数运算的题目不多，较多的是通过求导数，进一步求曲线的切线方程或导数用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式、方程等结合考查 【课前检测训练】判一判关于函数的极值，下列说法正确的是()A导数为0的点一定是函数的极值点B函数的极小值一定小于它的极大值Cf(x)在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b

3、)内不是单调函数【答案】D【解析】导数为0的点不一定是极值点(如yx3，在x0处)，而极值点的导数一定为0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值极值点是单调性的转折点故选D. 练一练1 【2015高考陕西，理12】对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A是的零点 B1是的极值点C3是的极值 D. 点在曲线上【答案】A2.【2016年江西六校联考】已知，又，若满足的有四个，则的取值范围为( )AB C D【答案】A【解析】，当时，恒成立，所以在上3函数f(x)x34x4在0，3上的最大值为_，在0，3上的最小值为_

4、【答案】.【解析】f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2；令f(x)0，得2x2.所以f(x)在(，2)，(2，)上单调递增；在(2，2)上单调递减，而f(2)，f(0)4，f(3)1，故f(x)在0，3上的最大值是4，最小值是.故填.4【2016年安徽淮南市高三二模】函数在区间上的最大值是 .【答案】【解析】由题意得，令，因为，所以，当时，；当时，所以当时，函数取得极大值，也是最大值，此时最大值为5【2016年河北石家庄高三二模】已知函数，若过点可作曲线的两条切线，且点不在函数的图象上，则实数的值为_.【答案】或【题根精选精析】考点1应用导数研究函数的极值问题【1-1】设

5、函数f(x)2xex1，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点【答案】D【解析】求导得f(x)2ex2xex2ex(x1)，令f(x)2ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点故选D.【1-2】【百强校】2016届河北省衡水中学高三下六调】已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（ ）A2 B3 C D【答案】D【解析】因,即,故题设【基础知识】函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0

6、，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值【思想方法】求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左

7、负右正，那么f(x)在x0处取极小值【温馨提醒】导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数的零点就是极值点(如yx3)，还要保证该零点为变号零点考点2应用导数研究函数的最值问题【2-1】【2016高考新课标2理数】()讨论函数的单调性，并证明当时，； ()证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域【答案】（）详见解析；（）.【解析】试题分析：（）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.试题解析：（）的定义域为.

8、KS5UKS5U且仅当时，所以在单调递增，KS5UKS5UKS5U因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增KS5UKS5UKS5U所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是【2-2】【2015届陕西省西安第一中学下学期自主命题考试】已知 设（）求在上的最大值（）当时，试比较与的大小，并证明【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求导，研究函数单调性，讨论两端点值的大小即可；的大小即可（2）当时，分与讨论与的当时， 故：.【基础知识】(1)在闭区间a，b上图象连续不断的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，

9、则f(a)为函数在a，b上的最小值，f(b)为函数在a，b上的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数在a，b上的最大值，f(b)为函数在a，b上的最小值(3)设函数f(x)在a，b上图象连续不断，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；KS5UKS5U将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值【思想方法】求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的

10、各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【温馨提醒】函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得考点3 已知函数的极（最）值求参数的范围【3-1】【2016高考山东文数】设f(x)=xlnxax2+(2a1)x，aR.()令g(x)=f(x)，求g(x)的单调区间；()已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.【答案】()当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. () . ()由()知，.当时，单调递减.所以当时，单调递减.当时，

11、单调递增.所以在处取得极小值，不合题意.当时，由()知在内单调递增，可得当当时，时，【3-2】【百强校】2016届福建省泉州市高三5月质检】已知函数,若是的一个极大值点,则实数的取值范围为 【答案】【解析】因,即,由题设条件及导函数的图象可以推知方程的两根在的两边,即,也即,所以.【基础知识】1 函数的极值与导数（1）一般地，当f(x0)0时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在上述根的左右对应函数值的符号如果左正

12、右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值2函数的最值KS5UKS5U(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值【思想方法】极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性(2)从个数上看，最值若存在，则必定是惟一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大

13、(小)值并不一定比极小(大)值大(小)(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值【温馨提醒】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理【易错问题大揭秘】已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值【易错点】解答本题时，易于忽视对k1不同取值情况的讨论，而错误得到f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)【分析

14、】(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)；当k11时，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.温馨提醒：1求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.2极值与最