1.2应用举例 (2).ppt

1、回顾旧知,正弦定理：,R是圆的半径,余弦定理：,在生活中测量距离、高度、角度等问题上，方法很多，初中时学过应用全等三角形，相似三角形与解直角三角形等，但是有些问题不能使用这些方法了，那么使用正、余弦定理怎么样解决这些问题呢？,1.2应用举例,知识与能力,能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.,采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题.,过程与方法,激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用

2、价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.,情感态度与价值观,由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决.,根据题意建立数学模型，画出示意图.,实际问题,解应用题的基本思路,例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，BAC51o， ACB75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）.,测量距离的问题,分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形。,例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法.,分析：用例1的方法，可以计

3、算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离.,解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在ADC和BDC中，应用正弦定理得,计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离.,例3、 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.,测量高度的问题,解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在ACD中，根

4、据正弦定理可得,例4、 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角5440，在塔底C处测得A处的俯角501。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m).,分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长.,解：在ABC中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，,CD=BD-BC177-27.3=150(m),答：山的高度约为150米.,例5、 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度CD.,解：在ABC中，A=15, C

5、=25-15=10. 根据正弦定理，,CD=BCtanDBCBCtan81047(m),答：山的高度约为1047米.,例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.50; （2）已知B=62.70,C=650.8,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm,测量角度的问题,分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。,解：（1）

6、应用S= a c sinB，得 S= 14.8 23.5 sin148.5090.9(cm2),(2)根据正弦定理， = c = S = bcsinA = b2 A = 1800 - (B + C)= 1800-(62.70+ 65.80)=51.50 S 4.0(cm2),(3)根据余弦定理的推论，得 cosB = = 0.7697 sinB = 0.6384 应用S= acsinB，得 S 511.4(cm2),例6、在ABC中，求证： （1） （2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）,分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，

7、联想到用正弦定理来证明.,证明：（1）根据正弦定理，可设 = = = k 显然 k 0，所以 左边= = =右边,（2）根据余弦定理的推论， 右边=2(bc +ca + ab ) =(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2=左边,已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.,变式练习,提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数 .,一、解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图. （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三

8、角形的数学模型. （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解. （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. （5）评价设计.,二、利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.,三、解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.,四、利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式

9、子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.,1.（08福建）在ABC中，A，B， C的对边分别为a，b，c，若 ，则角B的值 为（ ）,A. B. C. D.,D,【解析】由余弦定理知， ，条件等式变形为 ， ， ，B .,2.（08山东）已知ABC的三个角为ABC的 对边，向量 . 若 ，且acosB+BcosAcsinC，则角 B_.,3.（09全国）在ABC中，内角A、B、C的 对边长分别为a、b、c.已知 ， 且 ，求b.,【解析】此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手.对已知条件（1） 左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件（2） 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.,解：由余弦定理得 ， 又 ， 又 ， ， ， ， 由正弦定理得 ， 故 。 由 解得，b4.,一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔