2009年天津市春季高考真题详解(数学)

1、2009年天津市春季高考真题详解(数学) 一、单项选择题（共15小题，每 小题5分，共75分） （1）设全集U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，4，6，则CuA= （A）2，4，6 （B）1，3，5 （C）1，2，3，4，5，6 （D） 【答案】B 【考点】补集的概念 【分析】补集的定义：如果集合A是全集的一个子集，那么全集U中不属于A的所有元素组成的集合，叫做A在U中的补集。即CuA=x|xU且x不属于A 。因此，根据补集的定义，计算CuA就是在全集U=1，2，3，4，5，6中去除集合A中的所有元素，剩余元素组成的集合1，3，5即为CuA。 （2）已知1a5，则= （A）6 - 2a （

2、B）2a-6 （C）-4 （D）4 【答案】：D 【考点】绝对值的性质 【分析】因为=| a - 1 | + | a - 5 |，根据1a5，因此有： = a - 1 + 5 - a = 4 （3）函数的定义域为 （A）(2，+) （B）2，+ （C）(2，3)(3，+) （D）2，3)(3，+) 【答案】：D 【考点】定义域 【分析】求定义域需要遵循三个原则：分母不能为零；偶次根式被开方数大于等于零；对数的真数大于零，底数大于零且不等于1。 根据上面的原则，所以函数的定义域为： 解得，因此选择D。 （4）若10x = lg10m + lg(1/m) ，则x= （A）0 （B）2 （C）1 （

3、D）-1 【答案】：A 【考点】指数、对数的性质 【分析】根据对数运算性质有：10x = lg10m + lg(1/m) = lg10 + lgm + lg1 lgm = lg10 = 1，所以x=0 （5）已知向量a=(3，-2)，b=(4，3)，则(3a - 2b)a= （A）-21 （B）3 （C）27 （D）51 【答案】：C 【考点】向量性质和内积运算 【分析】3a - 2b=3(3，-2)- 2(4，3)=(9，-6)-(8，6)=(1，-12)，由向量的内积运算法则，所以：(3a - 2b)a =(1，-12)(3，-2)=13+(-12)(-2)=27 （6）已知函数f(x)=

4、(k-1)x2 + 2kx +3为偶函数，则其单调递减区间为： （A）（-，0） （B）（0，+） （C）（-，1） （D）（-，+） 【答案】：B 【考点】奇偶函数、单调区间、二次函数的性质 【分析】因为(k-1)x2 + 2kx +3为偶函数，因此，一次项系数应为零，所以k=0 因此f(x)= -x2 + 3，此函数是对称轴为x=0、开口向下的抛物线，因此，对称轴右侧为单调下降部分，选择B。 （7）在数列an中，an+1 = an +3，a2 = 2，则a7 = （A）11 （B）14 （C）17 （D）20 【答案】：C 【考点】等差数列 【分析】因为an+1 = an +3，即相邻两项

5、之差恒为3，所以数列an为等差数列，且公差d=3，所以a1 = a2 d = 2-3 = -1，因此a7 = a1 + 6d = 17。 或者直接根据a2和d计算a7 = a2 + 5d = 17。 （8）从4名男生中选1人，3名女生中选2人，将选出的3人排成一排，不同排法共有： （A）24种 （B）35种 （C）72种 （D）210种 【答案】：C 【考点】排列、组合 【分析】从4名男生中选1人有种方法，从3名女生中选2人有种，再将选出的3人排成一排，则共有= 436 = 72种。 （9）待中装有3个黑球和2个白球，一次取出两个球，恰好是黑、白球各一个的概率为： （A） 1/5 （B） 3/

6、10 （C） 2/5 （D） 3/5 【答案】：D 【考点】组合、概率 【分析】先求取出2球的所有取法，共有种。从3个黑球中取一个球的取法为，从2个白球中取一个球的取法有种。 因此，根据概率的求法，所求的概率为： （10）函数y = 1 + sin(x/3)的最小正周期是： （A）/6 （B）/3 （C）3 （D）6 【答案】：D 【考点】周期 【分析】sinax和cosax的周期为T=2/|a| ，本题中a=1/3，所以T=6。 （11）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2 + b2 c2 = ab，则C= （A）/6 （B）/3 （C）5/6 （D）2/3 【答案】：B

7、 【考点】余弦定理 【分析】根据条件a2 + b2 c2 = ab，很容易想到采用余弦定理进行处理。因为：c2 = a2 + b2 2abcosC 所以cosC=(a2 + b2 c2)/2ab =ab/2ab=1/2，因此C=/3。 （12）用一个平面截正方体，所得的截面图形不可能是： （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）梯形 （D）矩形 【答案】：B 【考点】立体几何 【分析】本题可通过排除法找出答案。平行于正方体某个面去截，截面是正方形；将正方体某个角截下来，则截面可以是普通的锐角三角形、等腰三角形或正三角形；若平行于某个棱去截正方体，则可以得到矩形，在这种截法中，若平面不与正方体

8、的棱平行，而是偏离一些，则可以得到一般梯形或等腰梯形。因此，A、C、D均可得到，只有B无法得到。 （13）设a0，若直线经过点(a，0)、(0，2a)、(1，2)，则其方程是： （A）2x + y 4 = 0 （B）x + 2y 5 = 0 （C）2x - y = 0 （D）2x + y = 0 【答案】：A 【考点】直线 【分析】本题可以采用多种方法进行计算。 方法1：因为直线经过(1，2)，所以代入验算排除B、C。假设答案是D，即2x + y =0，因为过(a，0)点，代入得a = 0，与条件a0矛盾，所以选择A。 方法2：(a，0)、(0，2a)分别是直线与x轴和y轴的交点，所以直线截距

9、分别为x=a0，y=2a0。而C、D的截距均为零，排除。再将(1，2)代入A或B中可知A正确。 （14）已知抛物线y2 = mx的准线方程为x = -2，则常数m= （A）4 （B）-4 （C）8 （D）-8 【答案】：C 【考点】抛物线、抛物线的准线 【分析】因为抛物线y2 = mx的开口方向与准线相反，而准线方程为x = -2，所以抛物线的开口向右，因此m0，排除B、D。 另外，在抛物线y2 = mx中，p=m/2，准线方程为：x = -p/2 = -m/4 = -2，所以m=8。 （15）已知直线l1：2x + y + m = 0，直线l2：x + 2y + n = 0，则： （A）l1

10、与l2相交但不垂直 （B）l1与l2相交且垂直 （C）l1与l2行 （D）l1与l2的位置关系取决于m、n的值 【答案】：A 【考点】直线的斜率、直线的位置关系 【分析】根据条件，k1 = -2，k2 = -1/2，因为k1k2，所以两直线不平行，因此肯定相交，排除C、D。又因为k1k2 = 1 -1，因此，两直线不垂直，因此选A。 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） （16）不等式(x + 3)2 1的解集是_。 【答案】-4 x -2 【考点】求解不等式 【分析】方法1：(x + 3)2 1可化为(x + 3)2 1 0，即(x +2)(x+4)0，解得 -4 x -2。 方法2

11、：(x + 3)2 1可化为| x +3 | 1，所以-1 x + 3 1，解得-4 x 0)，则ma+b-c=_。 【答案】2 【考点】指数运算 【分析】ma+b-c = ma+bm-c= ma+b/mc = mamb/mc = 48/16 = 2 （18）若复数(1+2i)(k+i)的实部和虚部相等，则实数k=_。 【答案】-3 【考点】复数的性质和运算 【分析】(1+2i)(k+i)= k 2 + (1+2k)i，根据条件实部和虚部相等，因此k-2=1+2k，解得k = - 3。 （19）半径为10的圆中，135圆心角所对圆弧的长为_。 【答案】7.5 【考点】弧度制、弧长计算 【分析】

12、135= 3/4，弧长为l = |r = (3/4)10 = 7.5。 （20）已知tan= 2，则tan(/4+)_。 【答案】-3 【考点】三角函数的两角和或差 【分析】根据tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) ，所以： （21）在等比数列an中，公比q=3，前n项和为Sn，则S4/S2= _。 【答案】10 【考点】等比数列 【分析】设首项为a1，因为公比q=3，则a2 = 3a1，a3 = 9a1，a4 = 27a1，所以S2 = a1 + a2 =4a1，S4 = a1 + a2 + a3 + a4 =40a1，所以S4/S2 = 40a1/4a1 =10。 三、解

13、答题（共4小题，共51分） （22）（12分） 已知二次函数f(x) = ax2 + bx 满足：f(2)=0；方程f(x)=x有两个相等的实数根，求： （）函数f(x)的解析式 （）函数f(x)在区间0，3上的最大值和最小值 【考点】二次函数，最值求解 【答案】（）由f(2)=0得：4a + 2b = 0 由f(x)=x，即ax2 +(b1)x = 0有两个相等的实数根，所以：= b24ac =0 即：(b1)24a0 = 0，解得b = 1，所以a = -1/2，所以f(x)= - x2/2 + x （）f(x)= - x2/2 + x = - (x1)2/2 + 1/2，所以函数的开口向

14、下，对称轴为x = 1，因为11，3，所以当x = 1时，f(x)有最大值为1/2； 因为函数开口向下，所以最小值在区间1，3的端点处达到，因为： f(0)= 0，f(3)= -2/3，所以当x = 3时函数f(x)有最小值为-2/3 。 （23）（12分） 已知函数f(x)= 2sinxcosx + cos2x； （）求f(3/4)的值 （）若f(/4)=/2，且3/2，求cos的值 【考点】三角函数求值，三角函数运算 【答案】（）f(3/4)= 2sin(3/4)cos(3/4)+ cos(3/2)=2(/2)(-/2)+0 = -1 （）由f(/4)= /2得： ，即： 两边平方得：，即

15、sin= -1/2 因为3/2，所以cos= -= -/2 （24）（12分） 如图所示，正三棱柱的底面边长为4，过BC的一个平面交棱AA1于点D，且AD=2，求： （）二面角A-BC-D的度数 （）三角形BCD的面积 【考点】三垂线定理，二面角，面积计算 【答案】（）过A做AEBC于E，连接DE，因为DA底面ABC，AE是DE在底面ABC内的投影，根据三垂线定理得DEBC，所以DEA就是二面角A-BC-D的平面角 在直角三角形AEC中，AC=4，EC=2，所以AE = 2 在直角三角形AED中，tanDEA=AD/AE=/3 ，所以DEA=30 因此二面角A-BC-D的度数是30 （）在直角三角形AED中，因为DEA=30，所以DE=2AD=4 所以三角形BCD的面积为：S = BCDE/2 = 44/2 = 8 （25）（15分） 已知椭圆的标准方程为，双曲线的标准方程为，求： （）椭圆的焦点坐标 （）双曲线的渐近线方程 （）以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的标准方程 【考点】椭圆，渐近线，圆，点到直线距