高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义互动课堂学案苏教版选修

1、3.3 复数的几何意义互动课堂疏导引导1.复数的几何意义 复数的几何意义实质是复数的两种几何表示方法，即复数的点表示和向量表示.复数对应的点与复数对应的向量之间是一一对应的关系.复数z=a+bi对应的向量的模叫做复数的模，它是复数对应的点到原点的距离，具体公式是z=.2.注意以下问题(1)复平面上虚轴含原点；与模相等且同向，则它们表示同一复数，但是只有向量的起点在原点O时，此向量才与它的终点表示同一复数；对于复数z=a+bi，若无a、bR这一条件，就不能视a为实部，b为虚部，在理解概念时，要善于利用数形结合的思想.(2)抓住复数的分类，明确复数问题实数化是解决问题的最基本的思想方法，其依据是复

2、数的有关概念和两个复数相等的条件.(3)数的概念扩展为复数后，实数集中有些概念、运算、性质不再适用，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.(4)复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的. 即 这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.(5)应注意,复数z=a+bi用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).(6)对于复数a+bi(a、bR),当b=0时,复数a+

3、bi就是实数,由上面的公式,有|a|=.这与以前关于实数的绝对值及算术平方根的规定一致,可见,复数的模就是实数的绝对值概念的扩充.3.复数加法的几何意义 复数的加法可以按照向量的加法来进行.4.复数减法的几何意义 复数的减法可以按照向量的减法来进行.5.复平面内的两点间距离公式d=|z2-z1|,其中z1、z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为Z1和Z2间的距离.进一步,模的性质有(1)|z|=|;(2)|z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|;(3)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).6.在复平面内,四边形OACB的顶点A、B、C对应的复数分别为z

4、1、z2、z1+z2,则四边形OACB为平行四边形.进一步有(1)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;(2)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;(3)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.活学巧用例1 已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限，求实数x的范围.解：x为实数，x2-6x+5和x-2都是实数.复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限， 解得1x2，即1x2为所求实数x的范围.点评：本例求x的范围，是根据复数在复平面内对应的点所在的象限确定实部和虚部组成的不等式组，由

5、不等式组求出x的范围.例2 已知复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，且3z1+(z2-2)i=2z2-(1+z1)i,求z1和z2.解：由于z1、z2在复平面内的对应点关于原点对称，有z2=-z1，代入已知等式,得3z1+(-z1-2)i=-2z1-(1+z1)i. 解得5z1=i.z1=,z2=.点评：由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决.例3 已知两个向量a、b对应的复数是z1=3和z2=-5+5i，求向量a与b的夹角.解：a=(3，0)，b=(-5，5)，所以ab=-15，|a|=3，|b|=. 设a与b的夹角为，所以cos=.因为0，所以=.点评：复数的向量表示形式与点也是一一对应关系，因而向量的知识与复数间可以相互转化来解决问题.例4 设zC，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)z=4； (2)2z4.解：(1)复数z的模等于4，就是说，向量的模等于4，所以满足条件z=4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆.(2)不等式2z4可化为不等式组 不等式z4的解集是圆z=4内部所有的点组成的集合，不等式z2的解集是圆z=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条