高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例学案(含解析)新人教A版选修

1、1.4生活中的优化问题举例学习目标1了解导数在解决实际问题中的作用2掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识链接设两正数之和为常数c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式(a，b0)?答设一个正数为x，则另一个正数为cx，两数之积为f(x)x(cx)cxx2(0xc)，f(x)c2x.令f(x)0，即c2x0，得x.故当x时，f(x)有最大值f，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的.若设这两个正数分别为a，b，则有ab(a0，b0)，即(a，b0)，当且仅当ab时等号成立预习导引1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决

2、优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路是上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程要点一用料最省问题例1有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC，又设总的水管费用为y元，依题意有y3a(50x)5a(0x50)y3a.令y0，解得x30，(x30舍去)

3、在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x30处取得最小值，此时AC50x20 (km)供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答跟踪演练1一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得pkv3，其中k为比例

4、系数(k0)，它可以由v10，p6求得，即k0.006，于是有p0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v396(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以，航行1海里的总费用为：q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38 000)，令q0，解得v20.当v20时，q20时，q0，当v20时，q取得最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小要点二面积、容积的最值问题例2如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四

5、周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x20 cm， cm，其中x20，y25.两栏面积之和为2(x20)18 000，由此得y25.广告的面积Sxyx25x，S2525.令S0得x140，令S0得20x0)；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为yabv2s，所求函数及

6、其定义域为ys，v(0，c(2)由题意s、a、b、v均为正数ys0得v .但v(0，c若c，则当v 时，全程运输成本y最小；若 c，则v(0，c，此时yc时，行驶速度vc.规律方法正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路另外需注意：合理选择变量，正确给出函数关系式与实际问题相联系必要时注意分类讨论思想的应用跟踪演练3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C1004q，价格p与产量q的函数关系式为p25q.求产量q为何值时，利润L最大？解收入Rqpq25qq2，利润LRC(1004q)q221q100(0q0)S(x34V)令S0，得x.3在边长为60 cm的正方形铁皮的四角

7、切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解设箱底边长为x cm，则箱高h cm，箱子容积V(x)x2h(0x60)V(x)60xx2令V(x)60xx20，解得x0(舍去)或x40，并求得V(40)16 000.由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答当x40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3.4统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米

8、，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)x2(0x120)，h(x)(0x120)令h(x)0，得x80.因为x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，所以当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25(升)因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值答汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升1解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域注意所求得

9、的结果一定符合问题的实际意义2利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f(x)0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点一、基础达标1方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A4 B6C4.5 D8答案A解析设底面边长为x，高为h，则V(x)x2h256，h，S(x)x24xhx24xx2，S(x)2x.令S(x)0，解得x8，h4.2某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设

10、存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0.016 2 B0.032 4 C0.024 3 D0.048 6答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)当0x0；当0.032 4x0.048 6时，y0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为3.4用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然

11、后把四边翻转90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为()A120 000 cm3 B128 000 cm3C150 000 cm3 D158 000 cm3答案B解析设水箱底边长为x cm，则水箱高h60(cm)水箱容积VV(x)x2h60x2 (0x0.求导数，得S(x)2.令S(x)20，解得x16(x16舍去)于是宽为8.当x(0,16)时，S(x)0.因此，x16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使四周空白面积最小二、能力提升8把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()A. cm2

12、B4 cm2C3 cm2 D2 cm2答案D解析设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4x)cm，则这两个正三角形的面积之和为Sx2(4x)2(x2)242(cm2)，故选D.9某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A150 B200 C250 D300答案D解析由题意得，总利润P(x)令P(x)0，得x300，故选D.10为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米

13、已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a_，b_时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)答案63解析设y为流出的水中杂质的质量分数，则y，其中k(k0)为比例系数依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b2ab2a60(a0，b0)得b.于是y.(0a30)令y0得a6或a10(舍去)只有一个极值点，此极值点即为最值点当a6时，b3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小11某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为

14、256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9

15、个桥墩才能使y最小12一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.则总费用f(x)(kx3200)a(kx2)由已知条件，得40k203，k，f(x)a(0x100)令f(x)0，得x10.当0x10时，f(x)0；当10x0.当x10时，f(x)有最小值，即速度为10 km/h时，总费用最少三、探究与创新13某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的