高二数学上学期第10周教学设计

1、四川省宜宾市一中2015-2016学年度上期高二数学数学第十周设计教学热点1 随机事件的概率1.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【方法规律】1对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)2从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含

2、的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集3.随机事件的概率为，4.必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用和表示，必然事件的概率为，不可能事件的概率为，即，;5.（1）频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率;（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性.【解题技巧】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是

3、将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误【易错点睛】1. 频率与概率 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率2正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件3需准确理解题意，特别留心“至多”

4、，“至少”，“不少于”等语句的含义.例1：某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)【易错点】(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征的含义(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和

5、或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式易错提示：(1)对统计表的信息不理解，错求x，y难以用样本平均数估计总体(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或转化为BC的对立事件，导致计算错误.热点2 古典概型1. 从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 .2. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果， 3.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形

6、边长的概率为（ ） 故选.考点：古典概型及其概率计算公式.4.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示） 【方法规律】1古典概型计算三注意：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个2确定基本事件的方法列举法、列表法、树状图法【解题技巧】1.计算古典概型事件的概率可分三步：算出基本事件的总个数n；求出事件A所包含的基本事件个数m；代入公式求出概率P.2概率的一般加法公式：P(AB)P(A)P(B)P(AB)公式使用中要注意：(1)公式的作用是

7、求AB的概率，当AB时，A、B互斥，此时P(AB)0，所以P(AB)P(A)P(B)；(2)要计算P(AB)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件AB，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一【易错点睛】1古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的2列举基本事件要做到“不重不漏”3注意区分放回抽样和不放回抽样【方法规律】1区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个2转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式(1)一般地

8、，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型【解题技巧】首先认真阅读题目，把其中的有用信息向我们熟悉的知识方面转化，实现知识的迁移，然后再利用概率的知识去解决.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化

9、为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，利用公式可求【易错点睛】1准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果例1：在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率【解析】设x、y表示三段长度中的任意两个因为是长度，所以应有0x1,0y1,0xy1，即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示4分要形成三角形，由构成三角形的条件知所以x，y，故图中阴影部分符合构成三角形的条件8分因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的，故这三条线段能构成三角形

10、的概率为.12分【易错点】不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率解决几何概型问题时，还有以下两点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致错误.例2：平面上画了彼此相距2a的平行线把一枚半径r a的硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率？【解析】设事件为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线，垂足2a为， 线段的长度的取值范围为 ，其长度就是几何概型所有的可能性构成的区域的几何测度，只有当时，硬币不与平行线

11、相碰，其长度就是满足事件 的区域的几何测度，所以答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为【易错点】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域和区域，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。例3：如图，在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求的概率？【解析】点随机的落在线段上，故线段为区域，当点位于如图的内时，故线段即为区域 在上截取 ，于是 答：的概率为【易错点】测度选取为线段（长度），不能看做角度。【考点剖析】一.最新考试说明：1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式.2.理解古典概型及其概率计算公式会计算一

12、些随机事件所含的基本事件数及事件发生的 概率.二.命题方向预测：1.随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查2借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主3.以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此

13、类试题以低、中档题为主三.课本结论总结：1随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C表示2频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事

14、件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率3事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA且ABAB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事

15、件A与事件B互为对立事件ABP(AB)P(A)P(B)14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率P(E)1.(3)不可能事件的概率P(F)0.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)1P(B)5基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和6古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(2)每个基本事件出现的可能性相等7如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有

16、结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A).8古典概型的概率公式P(A).9几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型10几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A).11要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性12随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法(2)用计算机或计算器

17、模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；计算频率fn(A)作为所求概率的近似值四.二手结论：对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件

18、的概率，再用公式P(A)1P()计算计算基本事件总数或计算某一事件包含的基本事件数时，可以用列举的方法，列举时要不重不漏求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解 若可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都

19、不发生 对立事件一定是互斥事件 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 若事件是互斥事件，则有 一般地，如果 两两互斥，则有 在本教材中 指的是 中至少发生一个 一条规律互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件

20、的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便一条规律从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集故P(A).两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求另外在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)

21、与(2,1)相同一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决五.课本经典习题：1.必修3第52页某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数击中靶心的次数击中靶心的频率1082019504410092200178500455（1）填写表中击中靶心

22、的频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？【分析】事件A出现的频数与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。【解答过程】（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。【经典理由】考查频率与概率的关系，概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。2.必修3第60页在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？【解答过程】解

23、法1：（互斥事件）设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为 意义为“选取2个球都是其它颜色球” 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有种情况，设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，而事件所含有的基本事件数有 所以答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 为“选取2个球至少有1个是红球” ，事件有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：， 则有 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .【经典理由】本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!3.必修3第72页如图，在等腰直角三角形中，在内部任意作一条射线，与线段交于点，求的概率？ 【