高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列（2）学案 新人教A版必修

1、2.2 等差数列（1）学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题知识点一等差数列通项公式的推广思考1已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项ana1(n1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?答案设等差数列的首项为a1，则ama1(m1)d，变形得a1am(m1)d，则ana1(n1)dam(m1)d(n1)dam(nm)d.思考2由思考1可得d，d，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？答案等差数列通项公式可变形为andn(a1d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都

2、是这条直线上的点d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d.当两点为(n，an)，(m，am)时，有d.梳理等差数列an中，若公差为d，则anam(nm)d，当nm时，d.知识点二等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算123100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？答案利用1100299.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2.梳理在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，若mn2p，则anam2ap.知识点三由等差数列衍生的新数列思考若an是公差为d的等差数列，那么anan2

3、是等差数列吗？若是，公差是多少？答案(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)dd2d.anan2是公差为2d的等差数列梳理若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)类型一等差数列推广通项公式的应用例1在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式解因为a8a2(82)d，所以1756d，解得d2.又因为ana2(n2)d，所以an5(n2)22n1.反思与感悟灵活利

4、用等差数列的性质，可以减少运算跟踪训练1数列an的首项为3，bn为等差数列，且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，则a8等于()A0 B3 C8 D11答案B解析bn为等差数列，设其公差为d，则d2，bnb3(n3)d2n8.a8(a8a7)(a7a6)(a6a5)(a5a4)(a4a3)(a3a2)(a2a1)a1b7b6b1a1(b7b1)(b6b2)(b5b3)b4a17b4a17033.类型二等差数列与一次函数的关系例2已知数列an的通项公式anpnq，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解取数列an中任意相邻两项an和an1(n1)

5、，求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列由于anpnqqp(n1)p，所以首项a1pq，公差dp.反思与感悟本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华跟踪训练2某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利

6、为an，则anan120(n2，nN*)，每年获利构成等差数列an，且首项a1200，公差d20.所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an20n2200，解得n11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损类型三等差数列性质的应用例3已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式解方法一因为a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d1

7、32n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1a4a715，得a1a13da16d15，即a13d5，由a2a4a645，得(a1d)(a13d)(a15d)45，将代入上式，得(a1d)5(52d)45，即(a1d)(52d)9，解，组成的方程组，得a11，d2或a111，d2，即an12(n1)2n3或an112(n1)2n13.引申探究1在例3中，不难验证a1a4a7a2a4a6，那么，在等差数列an中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN*，是否有amanapaqaras?解设公差为d，则ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，ara1(r1)

8、d，asa1(s1)d，amanap3a1(mnp3)d，aqaras3a1(qrs3)d，mnpqrs，amanapaqaras.2在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.答案20解析a3a810，a3a3a8a820.33885557，a3a3a8a8a5a5a5a7，即3a5a72(a3a8)20.反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之这些方法都运用了整体代换与方程的思想跟踪训练3在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值解方法一

9、(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.方法二a1a4a7a1(a13d)(a16d)3a19d39，a13d13，a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d)3a112d33.a14d11，由联立得a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d)3a115d31915(2)27.1在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于()A3 B6 C4 D3答案B解析由等差数列的性质得a8a3(83)d5d，所以d6.2在等差数列an中，已知

10、a42，a814，则a15等于()A32 B32C35 D35答案C解析由a8a4(84)d4d，得d3，所以a15a8(158)d147335.3等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于()A3 B3C. D答案A解析由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.1等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列2在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量40分钟课时作业一、选择题1已知等差数列

11、an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m的值为()A12 B8C6 D4答案B解析由等差数列的性质得，a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又d0，m8.2设公差为2的等差数列an，如果a1a4a7a9750，那么a3a6a9a99等于()A182 B78C148 D82答案D解析a3a6a9a99(a12d)(a42d)(a72d)(a972d)(a1a4a97)2d33502(2)3382.3下面是关于公差是d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列

12、an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4答案D解析对于p1：ana1(n1)d，d0，anan1d0，则p1正确；对于p2：nanna1n(n1)d，nan(n1)an1a12(n1)d与0的大小关系和a1的取值情况有关故数列nan不一定递增，则p2不正确；对于p3：d，当da10，即da1时，数列是递增数列，但da1不一定成立，则p3不正确；对于p4：设bnan3nd，则bn1bnan1an3d4d0.数列an3nd是递增数列，p4正确综上，正确的命题为p1，p4.4在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为()A4 B

13、6C8 D10答案C解析a2a4a6a8a105a680，a616，a7a8(2a7a8)(a6a8a8)a68.5若a，b，c成等差数列，则二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点的个数为()A0 B1C2 D1或2答案D解析a，b，c成等差数列，2bac，4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点个数为1或2.6在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8的值等于()A45 B75C180 D300答案C解析a3a4a5a6a7(a3a7)(a4a6)a55a5450，a590.a2a82a5180.7已知数列an为等差数列且a1a

14、7a134，则tan(a2a12)的值为()A. BC D答案D解析由等差数列的性质得a1a7a133a74，a7.tan(a2a12)tan(2a7)tan tan .二、填空题8设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13_.答案105解析a1a2a33a215，a25.a1a2a3(a2d)a2(a2d)5(25d2)80，又d为正数，d3.a11a12a133a123(a210d)3(530)105.9若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_答案21解析设这三个数为ad，a，ad，则解得或这三个数为1,3,7或7,3

15、，1.这三个数的积为21.10在等差数列an中，已知amn，anm，则amn的值为_答案0解析方法一设等差数列的公差为d，则d1，从而amnam(mnm)dnn(1)0.方法二设等差数列的通项公式为ananb(a，b为常数)，则得a1，bmn.所以amna(mn)b0.三、解答题11成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数解设这四个数为a3d，ad，ad，a3d，则由题设得解得或这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.12正项数列an中，a11，an1an.(1)数列是否为等差数列？说明理由；(2)求an.解(1)an1an，an1an，()()，an是正项

16、数列，0，1，是等差数列，公差为1.(2)由(1)知是等差数列，且d1，(n1)d1(n1)1n，ann2.13下表给出一个“等差数阵”：47()()()a1j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式，以及2 017这个数在等差数阵中所在的一个位置解(1)a45表示等差数阵中第4行第5列的数，先看第1行，由题意4,7，a15，成等差数列，公差d743，则a154(51)316.再看第2行，同理可得a2527.最后看第5列，由题意，a15