高考数学浙江省专用复习专题测试第二章函数28函数模型及其综合应用

1、考点函数模型及其综合应用 1.(2017课标全国文,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则() A. f(x)在(0,2)单调递增 B. f(x)在(0,2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,五年高考,答案C本题考查函数的图象与性质. 函数f(x)=ln x+ln(2-x)=lnx(2-x),其中0x2,则函数f(x)由f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数的单调性可知,x(0,1)时, f(x)单调递增,x(1,2)时, f(x)单调递减,则A、B选项错误;t(x)的图象关于直线x=1对称

2、,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C选项正确,D选项错误.故选C.,2.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是() A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,答案D对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽

3、油,行驶里程都超过5 km,则A错; 对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错; 对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80110=8(升),则C错; 对于选项D:当行驶速度小于80 km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.,3.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k, 据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为() A.5B.6C.8D.10,答案C因

4、为函数y=3sin+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大 值为3+5=8(m),选C.,评析在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如y=Asin(x+)+k的函数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的值.,4.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为() A.B. C.D.-1,答案D设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(

5、1+p)(1+q),得x=-1,故选D.,5.(2017浙江,17,4分)已知aR,函数f(x)=+a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围 是.,答案,6.(2017山东理,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为. f(x)=2-xf(x)=3-xf(x)=x3f(x)=x2+2,答案,解析对于, f(x)的定义域为(-,+),exf(x)=ex2-x=,函数y=在(-,+)上单调递增, 符合题意. 对于, f(x)的定义域为(-,+),exf(x)=ex3-x

6、=,函数y=在(-,+)上单调递减,不 符合题意. 对于, f(x)的定义域为(-,+),exf(x)=exx3,令y=exx3,则y=(exx3)=exx2(x+3),当x(-,-3)时,y0,函数y=ex(x2+2)在(-,+)上单调递增,符合题意. 符合题意的为.,思路分析审清题意,逐项代入检验即可.,方法总结判断函数单调性的一般方法: (1)定义法. (2)图象法. (3)利用复合函数单调性的判断方法判断单调性. (4)导数法.具体步骤:确定函数的定义域;当f (x)0时, f(x)为增函数,当f (x)0时, f(x)为减函数,注意写单调区间时不能用“”连接.,7.(2014浙江,1

7、7,4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小.若AB=15 m,AC=25 m,BCM=30,则tan 的最大值是.(仰角为直线AP与平面ABC所成角),答案,解析过点P作PNBC于N,连接AN,则PAN=,如图.设PN=x m,由BCM=30,得CN=x m. 在直角ABC中,AB=15 m,AC=25 m,则BC=20 m,故BN=(20-x)m.从而AN2=152+(20-x)2=3x2-4 0 x+625,故tan2=. 当=时,tan2取

8、最大值,即当x=时,tan 取最大值.,8.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是小时.,答案24,解析依题意有192=eb,48=e22k+b=e22keb, 所以e22k=,所以e11k=或-(舍去),于是该食品在33 的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3eb= 192=24(小时).,评析本题考查了函数的应用,考查转化与化归的数学思想.,9.(2014湖北,14,5分)设

9、f(x)是定义在(0,+)上的函数,且f(x)0,对任意a0,b0,若经过点(a, f(a),(b,-f(b)的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数. (1)当f(x)=(x0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数; (2)当f(x)=(x0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可),答案(1)(2)x,解析(1)若Mf(a,b)是a,b的几何平均数,则c=. 由题意知,(a, f(a),(,0),(

10、b,-f(b)共线,=,=,可取f(x)=. (2)若Mf(a,b)是a,b的调和平均数,则c=, 由题意知,(a, f(a),(b,-f(b)共线,=,化简得=,可取f(x)=x.,10.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy

11、,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型. (1)求a,b的值; (2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; 当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.,解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5). 将其分别代入y=,得解得 (2)由(1)知,y=(5x20),则点P的坐标为, 设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y=-, 则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B. 故f(t)=,t5,20. 设g(t)=t2+,则g(t)=2t-.令g(t)=0,解得t=10.,当t(5,10

12、)时,g(t)0,g(t)是增函数. 从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15. 答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.,评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.,11.(2014辽宁,12,5分)已知定义在0,1上的函数f(x)满足: f(0)=f(1)=0; 对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|x-y|. 若对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|k恒成立,则k的最小值为() A.B. C.D.,以下为教师用书专用,答案B当x

13、=y时,|f(x)-f(y)|=0. 当xy时,当|x-y|时,依题意有|f(x)-f(y)|时,不妨设x,|f(x)-f(y)|-=. 综上所述,对所有x,y0,1,都有|f(x)-f(y)|.因此,k,即k的最小值为,故选B.,1.(2017浙江名校协作体期初,8)已知函数f(x)=x+ex-a,g(x)=ln(x+2)-4ea-x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0,使f(x0)-g(x0)=3成立,则实数a的值为() A.-ln 2-1B.ln 2-1C.-ln 2D.ln 2,三年模拟,一、选择题,A组 20152017年高考模拟基础题组,答案A依题意有f(x)-g(x)=3在区

14、间(-2,+)上有解,即ex-a+4ea-x=ln(x+2)-x+3在区间(-2,+)上有解. 设h(x)=ln(x+2)-x+3,则h(x)=-1=-, 故函数h(x)在区间(-2,-1)上为增函数,在区间-1,+)上为减函数,故h(x)max=h(-1)=4. 设(x)=ex-a+4ea-x,则(x)=ex-a+4ea-x2=4(当且仅当ex-a=4ea-x,即ex-a=2时等号成立), 故要使ex-a+4ea-x=ln(x+2)-x+3在区间(-2,+)上有解,则(x)=h(x)=4,故x=-1,此时=2, 解得a=-ln 2-1.,2.(2017浙江“超级全能生”联考(3月),17)若

15、两个函数y=f(x),y=g(x)在给定相同的定义域上恒有f(x)g(x)0,则称这两个函数是“和谐函数”,已知f(x)=ax-20,g(x)=lg(aR)在xN*上是“和 谐函数”,则a的取值范围是.,二、填空题,答案4,5,解析由g(x)=lg(aR)及xN*知a0,故f(x)=ax-20,g(x)=lg(aR)在xN*上均为增函数. 欲使xN*时,f(x)g(x)0,只需两函数图象与x轴的交点间的距离不超过1即可,即1,解得 a4,5,经检验,当a=4,5时,两函数图象与x轴的交点之间的距离均为1,符合题意,所以a4,5.,3.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,17)已知函数f(x)=

16、x(x-x),x为x的整数部分,则f(f(5.68)=;当0 x2 017时, f(x)x-1的解集为.,答案1.2;x|1x2 017,解析f(5.68)=5(5.68-5)=3.4,f(f(5.68)=f(3.4)=30.4=1.2. 当nxn+1,nN时,有f(x)=n(x-n)x-1. 即当nxn+1,nN时,有(n-1)xn2-1. 显然,当n=0,即0 x1时,有x1,矛盾,无解. 当n=1,即1x2时,有00成立,即解集为x|1x2. 当n2,即nxn+1时,有xn+1,即解集为x|nxn+1. 故当0 x2 017时, f(x)x-1的解集为x|1x2 017. 又当x=2 0

17、17时, f(x)x-1的解集为x|x=2 017. 综合有当0 x2 017时, f(x)x-1的解集为x|1x2 017.,4.(2016浙江衢州质量检测(4月卷),12)已知函数f(x)=x2-2,对任意的x11,2,存在x23,4,使得f(x2)+a|f(x1)|恒成立,则实数a的取值范围是.,答案-12,+),解析对任意的x11,2,存在x23,4,使得f(x2)+a|f(x1)|恒成立,此问题转化为f(x)+a |f(x)|.f(x)在1,2和3,4上单调递增,故|f(x)|=2,f(x)=14,所以a-12.,1.(2016四川德阳一诊,5)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t

18、 min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有 L,则m 的值为() A.5B.8 C.9D.10,一、选择题,B组 20152017年高考模拟综合题组,答案A5 min后甲桶和乙桶的水量相等, 函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=a, 可得n=ln,f(t)=a, 因此,当k min后甲桶中的水只有 L时, f(k)=a=a,即=,k=10, 由题可知m=k-5=5,故选A.,2.(2016浙江名校(柯桥中学)交流卷四,14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=|x-1|+|x

19、-2|-3,若对任意实数x,恒有f(x-a)f(x),则非零实数a的取值范围为.,二、填空题,答案6,+),解析当x0时,f(x)=作出函数图象如图.对于任意xR,都有f(x-a)f(x),可从函数 图象上考虑,即将函数y=f(x)的图象向左(a0)平移|a|个单位后,得到的函数图象不在函数y=f(x)图象的上方,由图可知a6.,3.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,20)定义函数f(x)=(1-x2)(x2+bx+c). (1)如果f(x)的图象关于x=2对称,求2b+c的值; (2)若x-1,1,记|f(x)|得最大值为M(b,c),当b,c变化时,求M(b,c)的最小值.,三、解答题,解析(1)易得x=1是函数的零点,由于函数图象关于直线x=2对称,故3,5也是函数的零点,因此x2+bx+c=0的两根分别为3,5,由根与系数的关系知b=-8,c=15,所以2b+c=-1. (2)对任意的x-1,1,|f(x)|M(b,c),所以,取x=,0得 所以2|(1-2)(2+c)|2M(b,c),