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高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念学案苏教版选修

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3．1导数的概念 3．1.1　平均变化率 某病人吃完退烧药，他的体温变化如下： x(min) 0 10 20 30 40 50 60 y(℃) 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.8 问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？ 提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正、可负、可为零． 1．平均变化率 一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为. 2．平均变化率与曲线变化关系 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 对平均变化率的理解 (1)由平均变化率的定义知，平均变化率可正、可负、可为零． (2)平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． 求平均变化率 [例1]　已知函数f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[1,1.1]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率． [思路点拨]　直接利用平均变化率的定义求解即可． [精解详析]　(1)＝＝＝4.2. (2)＝＝＝＝8.02. [一点通]　求函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤： 第一步：求x2－x1； 第二步：求f(x2)－f(x1)； 第三步：由定义得出. 1．求函数y＝sin x在0到之间和到之间的平均变化率． 解：在0到之间的平均变化率为＝； 在到之间的平均变化率为＝. 2.如图是函数y＝f(x)的图像，则：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝. (2)由函数f(x)的图像知， f(x)＝所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝. 答案：(1)　(2) 平均变化率的应用 [例2]　已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L时半径r的平均变化率，哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ [思路点拨]　首先由球的体积公式变形得到函数r(V)的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算． [精解详析]　(1)∵V＝πr3，∴r3＝，r＝ ， ∴r(V)＝ . (2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为 ＝≈0.62(dm/L)． 函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为 ＝－ －≈0.16(dm/L)． 显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明随着体积的增加，气球的半径增加的越来越慢． [一点通]　平均变化率在实际问题中有很大作用，要把实际问题中的量与函数中的量对应起来，从而能利用平均变化率的定义来解决实际问题． 3．已知某一细菌分裂的个数随时间t s的变化满足函数关系式f(t)＝3t＋1，分别计算该细菌在[1,2]，[3,4]，[5,6]时间段内分裂个数的变化率，由此你能得出什么结论？ 解：细菌分裂的个数在[1,2]内的平均变化率为 ＝32－3＝6， 细菌分裂的个数在[3,4]内的平均变化率为 ＝34－33＝54. 细菌分裂的个数在[5,6]内的平均变化率为 ＝36－35＝486. 由此得出随时间的增加，细菌分裂的个数增加速度越来越快． 4．一底面半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥形容器，若以n cm3/s的速率向容器里注水，求注水时前t s水面上升的平均速率，并说明由此得出什么结论． 解：设注水t s时，水面高度为y cm，此时水面半径为x cm. 则＝，∴x＝y， 由题意知nt＝x2y＝， ∴y＝， 在[0，t]内水面上升的平均速率为： ＝＝＝(cm3/s)，可见当t越来越大时，水面上升的平均速率将越来越小． 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，平均变化率的绝对值反映了曲线在给定的区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，曲线在该区间上的变化越快；反之则慢． [对应课时跟踪训练(十五)]　 1．函数f(x)＝在x＝1到x＝2之间的平均变化率为________． 解析：＝＝－. 答案：－ 2．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值： t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c(t)/ (mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________． 解析：＝＝－0.002. 答案：－0.002 3．一棵树2011年1月1日高度为4.5 m,2012年1月1日高度为4.98 m，则这棵树2011年高度的月平均变化率是________． 解析：＝0.04. 答案：0.04 4．在曲线y＝x2＋1的图像上取一点(1,2)及邻近一点(1.1,2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________． 解析：＝＝2.1. 答案：2.1 5．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________． ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度． 解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故③正确，④错误． 答案：③ 6．已知正弦函数y＝sin x，求该函数在和内的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明含义． 解：当自变量从0变到时，函数的平均变化率为 k1＝＝＝. 当自变量从变到时，函数的平均变化率为 k2＝＝＝. 易知3 >6(2－)，∴k1>k2，即函数y＝sin x在内的平均变化率大于在内的平均变化率，说明函数y＝sin x的图像在内比较陡峭，在内比较平缓． 7．路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上射影点C沿某直线离开路灯． (1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率． 解：(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m， 由于CD∥BE，则＝， 即＝，所以y＝f(x)＝x. (2)在[0,10]上身影的平均变化率为： ＝＝. 即人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率为. 8．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 解：山路从A到B高度的平均变化率为 hAB＝＝， 山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝，∴hBC>hAB. ∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多． 3．1.2　瞬时变化率——导数 曲线上一点处的切线 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈，当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？ 问题1：陡峭程度能反映山坡高度变化的快与慢吗？ 提示：能． 问题2：从数学的角度如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 提示：用曲线的切线的斜率表示． 割线逼近切线的方法 设曲线C上有一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；当点Q沿曲线C向点P运动时，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线． 瞬时速度，瞬时加速度 问题1：探究在y＝gt2中，怎样求在t＝3这一时刻的速度？ 提示：物体在t＝3临近时间间隔内的平均速度可以看做物体在t＝3这一时刻速度的近似值．取一小段时间[3,3＋Δt]，在这段时间Δt内，物体位置的改变量 Δs＝g(3＋Δt)2－g32＝(6＋Δt)Δt， 相应的平均速度＝＝＝(6＋Δt)． 问题2：下表是Δt选取不同数值时相应的平均速度. Δt 2 1 0.5 0.25 0.1 0.05 0.02 0.01 4g 3.5g 3.25g 3.125g 3.05g 3.025g 3.01g 3.005g 上表的平均速度中最接近t＝3时这一时刻的速度的是哪一个？ 提示：Δt→0时的平均速度即这一时刻的速度，v＝3.005 g. 瞬时速度与瞬时加速度 要刻画物体在某一时刻的运动速度，通常先计算物体的位移s(t)的平均变化率，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度． 一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率，如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率． 导数的概念 在庆祝建国60周年阅兵式上，最后出场的教练机梯队以“零米零秒”的误差通过天安门上空． 问题1：通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述？ 提示：瞬时速度． 问题2：瞬时变化率是导数吗？ 提示：是． 1．导数的概念 导 数 定义 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义， x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导．并称该常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．可用符号“→”表示“无限趋近于” 几何 意义 导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率 2．导函数的概念 (1)导函数的定义： 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)． 在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数． (2)f′(x0)的意义： f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值． 1．求曲线上一点处的切线的关键是利用割线逼近切线的方法求出切线的斜率． 2．瞬时速度为位移函数相对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度函数相对于时间的瞬时变化率． 3．“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别：“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；“导函数”简记为“导数”，是一个函数，它是对于一个区间而言的，是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，Δx无关． 求曲线上一点的切线及斜率 [例1]　已知曲线y＝x＋上的一点A，用切线斜率定义求： (1)点A处的切线的斜率； (2)点A处的切线方程． [思路点拨]　先计算，再求其在Δx趋近于0时无限逼近的值． [精解详析]　(1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋－＝＋Δx， ∴＝＋＝＋1. 当Δx无限趋近于零时，无限趋近于， 即点A处的切线的斜率是. (2)切线方程为y－＝(x－2)， 即3x－4y＋4＝0. [一点通]　根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数． 1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于________． 解析：∵y＝2x3， ∴＝ ＝2(Δx2＋3Δx＋3) ＝2(Δx)2＋6Δx＋6. 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数6， 因而A处切线斜率为6. 答案：6 2．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则P点坐标为________． 解析：设P点坐标为(x0，y0)，则＝＝4x0＋4＋2Δx. 当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4， 因此4x0＋4＝16，即x0＝3， 所以y0＝232＋43＝18＋12＝30. 即P点坐标为(3,30)． 答案：(3,30) 3．求曲线C：y＝x3＋在x＝2处的切线方程． 解：把x＝2代入y＝x3＋，得y＝4，所以切点为 P(2,4)，又＝＝4＋ 2Δx＋(Δx)2，当Δx趋近于0时，趋近于4. 即切线斜率k＝4.所以所求切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 瞬时速度和瞬时加速度 [例2]　以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，经过时间t高度为s(t)＝v0t－gt2.求物体在t0时刻的瞬时速度． [思路点拨]　先求Δs，再根据定义，当Δt→0时，趋近于常数来求． [精解详析]　由已知得： Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－ ＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2， ＝v0－gt0－gΔt. 当Δt趋近于0时，趋近于v0－gt0. ∴物体在时刻t0时的瞬时速度为v0－gt0. [一点通]　 (1)求瞬时速度的步骤： ①求位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； ②求平均速度＝； ③求瞬时速度：当Δt趋近于0时，趋近于v. (2)求瞬时加速度的步骤与上述求瞬时速度的步骤类似． 4．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则此物体在t＝2时的瞬时速度为________． 解析：由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(32－22) ＝－Δt－(Δt)2， 所以＝＝－1－Δt. 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数－1. 故物体在t＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－1 5．已知物体运动速度v与时刻t的关系为v(t)＝t2＋t.求物体在t＝2时的瞬时加速度． 解：∵Δv＝(2＋Δt)2＋(2＋Δt)－(22＋2)＝(Δt)2＋5Δt， ∴＝Δt＋5. 当Δt趋近于0时，趋近于常数5. ∴物体在t＝2时的瞬时加速度为5. 求函数在某点处的导数 [例3]　求函数f(x)＝＋2在点x＝1处的导数． [思路点拨]　 法一：―→―→―→ 法二：―→ [精解详析]　法一：由已知得 Δy＝＋2－ ＝－1＝， ∴＝. ∴Δx→0时，→－2. ∴f′(1)＝－2. 法二：Δy＝－(＋2) ＝， ∴＝. ∴f′(x)＝－. ∴f′(1)＝－2. [一点通]　 求函数在x＝x0处的导数的方法： 确定y＝f(x)在x＝x0处的导数．一般有两种方法，一是应用导数定义法，二是导函数的函数值法，求解时，Δy要求准确，Δx可正可负． 6．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． 解：法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(232＋43)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx， ∴＝＝2Δx＋16. 当Δx→0时，2Δx＋16→16. ∴f′(3)＝16. 法二：＝ ＝＝4x＋2Δx＋4， 当Δx→0,4x＋2Δx＋4→4x＋4， ∴f′(x)＝4x＋4， ∴f′(3)＝43＋4＝16. 7．已知函数f(x)＝ax2＋2x在x＝1处的导数为6，求a的值． 解：＝ ＝ ＝ ＝a(Δx)＋2(a＋1)． 当Δx→0时，→2a＋2，∴f′(1)＝2a＋2. 由条件知f′(1)＝6， ∴2a＋2＝6，∴a＝2. 导数的几何意义及其综合应用 [例4]　已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积． [思路点拨]　解答本题可先求l1、l2的方程，并求其交点，然后求围成的三角形面积． [精解详析]　＝ ＝＝2x＋Δx＋1， ∵Δx→0时，2x＋Δx＋1→2x＋1，∴f′(x)＝2x＋1， 由题意知，(1,0)在曲线上， ∴f′(1)＝2＋1＝3，l1的方程为y＝3x－3. 设l2过曲线上的点(b，b2＋b－2)，∴f′(b)＝2b＋1， 则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2. 由l1⊥l2，得2b＋1＝－，b＝－， ∴l2的方程为y＝－x－. 由得 ∴直线l1与l2的交点为， l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，， 故所求三角形的面积为S＝＝. [一点通]　解决与导数的几何意义有关的综合题时，其关键是设出切点的横坐标，然后根据导数的几何意义，求出切线斜率，写出切线方程，然后综合有关知识解答． 8．过曲线y＝x2上哪一点的切线， (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135的倾斜角？ 解：设P是满足条件的点， Δy＝(x0＋Δx)2－x＝2x0Δx＋Δx2， ＝2x0＋Δx， 当Δx→0时，→2x0， 即f′(x0)＝2x0. (1)∵切线与直线y＝4x－5平行， ∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， ∴2x0＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． (3)∵切线与x轴成135的倾斜角， ∴其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． 若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，就是切线与y轴平行或是y轴或不存在；若f′(x0)>0，切线与x轴正方向夹角是锐角；若f′(x0)<0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行或是x轴． [对应课时跟踪训练(十六)]　 1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度为________． 解析：∵当Δt无限趋近于0时，－3Δt－6无限趋近于常数－6，∴该质点在t＝1时的瞬时速度为－6. 答案：－6 2．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率k为________． 解析：∵f(x)＝x2＋3x， ∴＝＝Δx＋7， ∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于7，从而A点处的切线斜率k＝7. 答案：7 3．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为________. 解析：＝ ＝＝2a＋aΔx， 当Δx→0时，→2a，∴2a＝2，a＝1. 答案：1 4．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________. 解析：由题意知f′(1)＝，f(1)＝＋2＝， 所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3. 答案：3 5．已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为________． 解析：∵y＝x2－2， ∴＝ ＝＝x＋Δx. ∴当Δx→0时，→x. ∴y′|x＝1＝1，∴在点P处的切线斜率为1， 切线倾斜角为45. 答案：45 6．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程． 解：∵ ＝＝2＋3Δx， ∴当Δx无限趋近于0时，2＋3Δx无限趋近于2， ∴f′(1)＝2， 所以直线的斜率为2， 所以直线方程为y－2＝2(x＋1)， 即2x－y＋4＝0. 7．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义． 解：当x从6变到6＋Δx时，函数值从f(6)变到f(6＋Δx)，函数值y关于x的平均变化率为： ＝ ＝＝5＋Δx. 当x趋近于6时，即Δx无限趋近于0，平均变化率趋近于5，所以f′(6)＝5，导数f′(6)＝5表示当x＝6 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h时间，原油温度将升高5 ℃. 8．已知曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在求出实数a的取值范围，若不存在，说明理由． 解：存在．设切点为(t，t2＋1)， 则＝＝Δx＋2t， 当Δx趋于0时，趋于2t，即 切线斜率k＝f′(t)＝2t， 所以切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)， 将(1，a)代入得 t2－2t＋(a－1)＝0，因为有两条切线， 所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0， 解得a<2.

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