函数的奇偶性与对称性

1、.苏州市学案函数的奇偶性与对称性一、课前准备：【自主梳理 】1.奇偶函数的定义：一般地， 对于函数f ( x) 的定义域内的 _一个 x ，都有 _ ，那么 f (x) 就叫做奇函数对于函数f ( x) 的定义域的 _一个 x ，都有 _ ，那么 f (x) 就叫做偶函数2奇偶函数的性质：具有奇偶性的函数，其定义域关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_对称（ 2）一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于 _ 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于 _对称（ 3）若奇函数f (x) 的定义域包含0，则 f (0)_（ 4）定义在R 上的任意函数f (x) 都可

2、以表示成一个奇函数g (x)_ 和一个偶函数 h( x) _的和（ 5）在定义域的公共部分内，两个奇函数之积（商）为_；两个偶函数之积（商）为 _；一奇一偶函数之积（商）为_ （注：取商时应使分母不为0）3函数图像的对称性： （ 1）定义在 R 上的函数f ( x) 满足 f ( a x)f (ax) ，则 f ( x) 的图像关于 _对称（ 2）定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (a x)f ( ax) ，则 f ( x) 的图像关于 _对称【自我检测】1对于定义在 R 上的函数 f (x) ，下列判断正确的是_ 若 f (2)f (2)，则函数 f (x) 是偶函数；若f (2

3、)f (2) ，则函数 f (x) 不是偶函数；若 f (2)f (2)，则函数 f ( x) 不是奇函数2给出4个函数：f ( x)1x2 ； f ( x)2x5 ；f ( x) lg1x ；f (x)x1 3x41xx1其中是奇函数；是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数3.已知 f (x)(m21) x2(m1)x n 2 为奇函数，则 m_, n_4.函数 f (x)x3x 的图像关于点 _对称5.函数 f (x)ax 3bsin x1，若 f ( 3)2 ，则 f (3) 的值为 _.6.已知函数f (x) 是定义在 R 的奇函数，则函数g( x)f (x)f (x) 的奇偶性是 _二、

4、课堂活动：【例 1】填空题：（ 1）函数 f (x) x1x1 是 _函数（填奇偶性）（ 2）已知函数 f ( x)ax2bx 3a b ，其定义域为 a 1,2a ，则 f ( x) 为偶函数的充要条件为 _ （ 3）已知 f (x) 是 R上的奇函数 ,且当 x (0,) 时 , f ( x) x(13 x ) , 则 f (x) 的解析式为_（ 4）若函数 f ( x)k2 x是奇函数，则 k_k2x1【例 2】判断下列各函数的奇偶性：2x2x(x 0)（ 1） f ( x) ( x 1) 1x ；（ 2） f (x)lg(1x )；（ 3） f ( x)x2x( x 0)1x| x22

5、 | 2.【例 3】（ 1）已知函数f (x)是偶函数， 当 x0,1时， f ( x) 1x ，又 f ( x) 的图象关于直线x 1对称，求 f (x) 在2,1 上的解析式；（ 2）若函数f ( x) 是偶函数，定义域为1,1且在区间 1,0 上为增函数，解关于x 不等式f (5x 1)f (3x) 课堂小结三、课后作业1.下列函数中，是偶函数的是_. f (x) x2x f ( x)x 1 f ( x)x2x 2 f ( x)x2x x 2,2)2.若函数 f (x)loga ( xx22a 2 ) 是奇函数，则实数a.3.奇函数 f (x) 的定义域是 R ，当 x 0 时， f (

6、 x)x22x2 ，则 f ( x) 在 R 上的表达式为_.4.已知 f (x) 是偶函数， g (x) 是奇函数， 若 f ( x)g (x)1，则 f (x) 的解析式是 _.x 15.若函数 f (x)( x a)(bx2a)(常数a,bR) 是偶函数，且它的值域为,4，则该函数的解析式为 _.6. 若 函 数 yf ( x) 是 定 义 在 1,1上 的 奇 函 数 ， 且 在 1,0上 为 减 函 数 ， 若f ( a2a 1)f (4a 5)0 ，则实数 a 的取值范围为 _.7.若奇函数 f (x) 满足 f (3) 1, f (x 3)f ( x)f (3), 则 f ( 3

7、 )_.28.已知 f (x) 是定义 R 在上的偶函数，并满足f ( x1，当 2x 3 时， f ( x)x ，2)f ( x)则 f (5.5) 的值为 _.9. 函数 yf ( x)( x 0) 是奇函数，且当x (0,) 时是增函数，若f (1) 0 ，求不等式f x( x1 ) 0 的解集 .210.已知函数f ( x) 对一切 x, yR ，都有 f (xy) f ( x) f ( y) .（ 1）求证：f (x) 是奇函数；（ 2）若 f ( 3)a ，用 a 表示 f (12) .四、纠错分析题 号错 题 原 因 分 析错题卡.学案 10函数的奇偶性与对称性答案一、课前准备：

8、【自主梳理 】1.任意，f ( x)f ( x) ，任意，f ( x)f ( x) .f (x)f ( x)f (x) f ( x)2.（ 1）原点，原点 .（ 2）原点， y 轴 .（ 3）0.（ 4） g( x)，h(x).（ 5）偶函数，偶函数，奇函数 .223.1）直线 x.2a,0 .（a（ ）点【自我检测】1. .2.， .3. m1, n2 .4.0,0.5.0.6.奇函数 .二、课堂活动：【例 1】（ 1）偶 .（ 2） a1 , b0 .（ 3） f ( x)x(13x ), x0x(1x ), x.（ 4） 1.330【例2】【解析】（ 1）由 1x0 ，得定义域为 1,1

9、)，关于原点不对称，f ( x) 为非奇非偶1x函数1x20得定义域为 (1,0) U (0,1) ， f ( x)lg(1x2 )lg(1 x2 )，（ 2）由( x2x2| x22 | 2 02) 2 f ( x)lg1(x) 2 lg(1x2 )f ( x) f ( x) 为偶函数(x)2x2（ 3）当 x0 时，x0 ，则 f ( x)( x)2x( x2x)f ( x) ，当 x0 时，x0 ，则 f ( x)( x)2x(x2x)f ( x) ，综上所述，对任意的x(,) ，都有 f ( x)f(x) ， f ( x) 为奇函数【 例 3 】【 解 析 】（ 1 ） f ( x)

10、的 图 象 关 于 直 线 x1 对 称 ， f (1 x)f (1 x) ， 即f ( x)f ( 2x) 当 x1,2时， f ( x)f ( 2x) 1(2 x)x 1 .又 f (x) 为偶函数，x2, 1 时， f ( x)f (x)x1（ 2）函数 f (x) 是偶函数，定义域为 1,1且在区间 1,0上为增函数， f (x) 在 0,1上为减函数 .由 f (5x1)f (3x)得： f (5x1)f (3x) 5x 13x ，即： x1或 x111,13x1，即0x18，又 1 5x32不等式的解为：0x18三、课后作业1. .2.2 函数是实数 R 上的奇函数f ( 0)0l

11、og a2a 20a222x22x2 x03.f ( x)0x0x22x2 x04.f ( x)1x 215.f ( x)2x24 6.1 a33327.128.2.5 【解析】f ( x 4)f ( x2)211f (x)函数的最小正周期为f ( x2)1T 4f ( x)f (5.5)f (1.54)f (1.5)f (1.5)f ( 1.54)f (2.5)Q 2 x时，xf (2.5)2.5f (5.5)2.53f (x)9.【解析】由题得 f x( x10011) -1 ，)x( x )1或x( x222解之得 x | 1x1417 或 117x 0 ，24.所以不等式的解集为 x | 1x117 或 117x 0 .24410. 【解析】（ 1）显然 f (x) 的定义域是 R ，它关于原点对称在f ( x y)f ( x)f ( y) 中，令 yx ，得 f (0