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文档简介
1、第二章解三角形全部教案北师大版高中数学必修5第一课时 2.1.1 正弦定理一、教学目标1、知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2、过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。3、情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系
2、与辩证统一。二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。三、教学方法:探析归纳,讲练结合四、教学过程.课题导入如图11-1,固定ABC的边CB及B,使边AC绕着顶点C转动。 思考:C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系? A显然,边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B.探析新课探索研究 (图11-1)在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图11-2,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函
3、数的定义,有,又, A则 b c从而在直角三角形ABC中, C a B(图11-2)思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如图11-3,当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=,则, C同理可得, b a从而 A c B (图11-3)思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。(证法二):过点A作, C由向量的加法可得 则 A B ,即同理,过点C作,可得 从而 类似可推出,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推
4、导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即理解定理:(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使,;(2)等价于,从而知正弦定理的基本作用为:已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如;已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如。一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例1在中,已知,cm,解三角形。解:根据三角形内角和定理,;根据正弦定理,;根据正弦定理,评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2在中,已知cm,cm,解三角形(角度精确到,边长精确到1cm)。解:根据正弦定理,因为,所以,或 当时, 当时,评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。.课堂练习:课本本节练习1和练习2。补充练习已知ABC中,求 (答案:1:2:3).课时小结(由学生归纳总结):(1)定理的表示形式:;或,(2)正弦定理
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