高考数学二项式定理

1、二项式定理一2009高考说明：1.能用计数原理证明二项式定理。2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。二要点精讲 以考查通项、二项式系数，展开式系数为主，可单独考查本节知识，也可出现与其他章节知识结合的小综合。（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。求数的末位；数的整除性及求系数；简单多项式的整除问题；（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：(1+x)n1+nx；(1+x)n1+nx+x2；（5）证明不等式。三典例解析题型1：二项式定理-项例1 在二项式(+)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系

2、数最大的项.解 二项展开式的前三项的系数分别是1，n（n-1），2=1+n（n-1），解得n=8或n=1（不合题意，舍去），Tk+1=Cx=C2-kx4-k，当4-kZ时，Tk+1为有理项，0k8且kZ,k=0，4，8符合要求.故有理项有3项，分别是T1=x4，T5=x，T9=x-2.n=8，展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大.T5=x.例2：在（3x-2y）20的展开式中，求：（1）二项式系数最大的项； （2）系数绝对值最大的项； （3）系数最大的项.解（1）二项式系数最大的项是第11项，T11=C310（-2）10x10y10=C610x10y10.（2）设系数绝对值最大的项

3、是第r+1项，于是，化简得，解得7r8.所以r=8,即T9=C31228x12y8是系数绝对值最大的项.（3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大，于是，化简得.解之得r=5,即25-1=9项系数最大.T9=C31228x12y8.例3：（1）（湖北卷）在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有A3项 B4项 C5项 D6项（2）的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（A）0（B）2（C）4（D）6解析：本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识；（1），当r0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，4，8，其中16，8，4，0，

4、8均为2的整数次幂，故选C；（2）的展开式通项为，因此含x的正整数次幂的项共有2项.选B；点评：多项式乘法的进位规则。在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别。练习：1、已知展开式中，前三项系数成等差数列.求n； 求第三项的二项式系数及项的系数；求含x项的系数； 求展开式中有多少有理项，并求每一项.解：(1)前三项系数为1，成等差数列，所以=1+，即 得n=1(舍) 或n=8.(2)由n=8知其通项公式,r=0,1,8第三项的二项式系数为,第三项系数为(3)令,得

5、r=4. 含x项的系数为.(4)若为有理项,则为整数,所以r为4的倍数,又，r=0,4,8.共有3个有理项,分别是,.2、设为自然数，则( )A. B. 0 C. D.1答案：D 【解法】【点评】观察式子结构特征,与二项展开式联系.题型2：二项式定理-系数例1、 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7.求:(1)a1+a2+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|.解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1；令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37(1)

6、a0=C=1,a1+a2+a3+a7=-2.(2)(-)2,得a1+a3+a5+a7=-1 094.(3)(+)2,得a0+a2+a4+a6=1 093.(4)(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6都大于零,而a1,a3,a5,a7都小于零,|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7),由(2)、（3）即可得其值为2 187.例2、（1）（06江西卷）在（x）2006 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x时，S等于（ ） A.23008 B.23008 C.23009 D.23009（2）（06山东卷）已知的展开式中第三项与第

7、五项的系数之比为,其中=1，则展开式中常数项是（ ） (A)45i (B) 45i (C) 45 (D)45（3）（06浙江卷）若多项式（ ）(A)9 (B)10 (C)9 (D)10解析：（1）设（x）2006a0x2006a1x2005a2005xa2006；则当x时，有a0（）2006a1（）2005a2005（）a20060 （1），当x时，有a0（）2006a1（）2005a2005（）a200623009 （2），（1）（2）有a1（）2005a2005（）23009223008，故选B；（2）第三项的系数为，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为可得n10，则，令405r0

8、，解得r8，故所求的常数项为45，选A；（3）令，得，令，得；点评：本题考查二项式展开式的特殊值法，基础题；例3、求x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3(1-3x)7展开式中各项系数的和.解 设x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3(1-3x)7=a0+a1x+a2x2+anxn在原式中，令x=1,则1(1-1)4+12(1+2)5+13(1-3)7=115,展开式中各项系数的和为115.练习：1、设常数展开式中的系数为，则 。 即.解之得n=34.2、已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.求n; 求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.解：(1)因为展开式中只有第6项的二项

9、式系数最大,所以n为偶数，第6项即为中间项，得n=10.(2) 展开式的通项是系数的绝对值是，若它最大则.,r=3，系数绝对值最大的项是第4项，即，系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r取偶数0，2，4，6，8时，各项系数分别为,，.系数最大的项是第5项，即【点评】求展开式中系数最大项的步骤是：先假设第r+1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式并求解此不等式组求得。题型3：二项式定理的应用例1证明下列不等式：（1）（）n,（a、bx|x是正实数,nN）;（2）已知a、b为正数，且+=1，则对于nN有（a+b）n-an-bn22n-2n+1。证明：（1）令a=x+，b=x，则x=

10、；an+bn=(x+)n+(x-)n=xn+Cn1xn-1+Cnnn+xn-Cn1xn-1+(-1)nCnnn=2(xn+Cn2xn-22+Cn4xn-44+)2xn 即（）n（2）(a+b)n=an+Cn1an-1b+Cnnbn(a+b)n=bn+Cn1bn-1a+Cnnan上述两式相加得：2(a+b)n=(an+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+Cnk(an-kbk+bn-kak)+Cnn(an+bn) (*)+=1，且a、b为正数ab=a+b2 ab4又an-kbk+bn-kak2=2()n(k=1,2,n-1)2(a+b) n2an+2bn+Cn12()n+Cn22（）n+Cn

11、n-12()n(a+b)nan-bn(Cn1+Cn2+Cnn-1)（）n(2n2)2n=22n2n+1点评：利用二项式定理的展开式，可以证明一些与自然数有关的不等式问题。题（1）中的换元法称之为均值换元（对称换元）。这样消去奇数次项，从而使每一项均大于或等于零。题（2）中，由由称位置二项式系数相等，将展开式倒过来写再与原来的展开式相加，这样充分利用对称性来解题的方法是利用二项式展开式解题的常用方法。例2、（14分）（1）已知nN*,求证：1+2+22+23+25n-1能被31整除；（2）求0.9986的近似值，使误差小于0.001.（1）证明 1+2+22+23+25n-1=25n-1=32n

12、-13分 =（31+1）n-1=31n+C31n-1+C31n-2+C31+1-1=31（31n-1+C31n-2+C）6分显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.7分（2）解 0.9986=（1-0.002）6=1-C（0.002）+C（0.002）2-C（0.002）3+10分第三项T3=15(0.002)2=0.000 060.001,以后各项更小,0.99861-0.012=0.988.14分例3（1）求46n+5n+1被20除后的余数；（2）7n+Cn17n-1+Cn27n-2+Cnn-17除以9，得余数是多少？（3）根据下列要求的精确度，求1.025的近似值。精确到0.01；精

13、确到0.001。解析：（1）首先考虑46n+5n+1被4整除的余数。5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+Cn+1n4+1，其被4整除的余数为1，被20整除的余数可以为1，5，9，13，17，然后考虑46n+1+5n+1被5整除的余数。46n=4(5+1)n=4(5n+Cn15n-1+Cn25n-2+Cnn-15+1)，被5整除的余数为4，其被20整除的余数可以为4，9，14，19。综上所述，被20整除后的余数为9。（2）7n+Cn17n-1+Cn27n-2+Cnn-17 =(7+1)n1=8n1=(9-1)n1 =9n-Cn19n-1+Cn29n-2+(1

14、)n-1Cnn-19+(1)nCnn-1(i)当n为奇数时原式=9n-Cn19n-1+Cn29n-2+（1）n-1Cnn-192除以9所得余数为7。(ii)当n为偶数时原式=9n-Cn19n-1+Cn29n-2+(1)n-1Cnn-19除以9所得余数为0，即被9整除。（3）(1.02)5（1+0.02）5 =1+c510.02+C520.022+C530.023+C540.024+C550.025C520.022=0.004,C530.023=810-5当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10。当精确到0.001时，只要取展开式的前四项和

15、，1+0.10+0.004+0.0008=1.10408，近似值为1.104。点评：（1）用二项式定理来处理余数问题或整除问题时，通常把底数适当地拆成两项之和或之差再按二项式定理展开推得所求结论；（2）用二项式定理来求近似值，可以根据不同精确度来确定应该取到展开式的第几项。例4、求证:3n(n+2)2n-1 （nN*，n2）.证明 利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明.因为nN*，且n2,所以3n=(2+1)n展开后至少有4项.（2+1）n=2n+C2n-1+C2+12n+n2n-1+2n+12n+n2n-1=(n+2)2n-1,故3n(n+2)2n-1.反思：1.求二项展开式指定的项，通

16、常是先根据条件求r,再求.有时还需先求n,再求r,才能求出.2.利用二项式定理证明整除性问题或求余数问题,证明时要注意变形技巧.3.对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.四、课后作业：1、在（1+x）n(nN*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n= .答案 102、在（a2-2a）n的展开式中，则下列说法错误的有 个.没有常数项 当且仅当n=2时，展开式中有常数项当且仅当n=5时，展开式中有常数项 当n=5k (kN*)时，展开式中有常数项答案 33、若多项式(x+1）n-C(x+1)n-1+(-1)rC(x+1)n

17、-r+(-1)nC=a0xn+a1xn-1+an-1x+an,则a0+a1+an-1+an= .答案 14、（2008山东理）(x-)12展开式中的常数项为 .答案 -2205、（2008福建理，13）若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= .（用数字作答）答案 316、（1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a6x6，则|a0|+|a1|+|a2|+|a6|的值为 .答案 7297、（2008安徽理）设（1+x）8=a0+a1x+a8x8，则a0，a1，a8中奇数的个数为 .答案 28、（2008全国理）(1-)6(1+)4的展

18、开式中x的系数是 .答案 -39、已知(x-)8展开式中常数项为1 120，其中实数a为常数，则展开式中各项系数的和为 .答案 1或3810、若(1+5x2)n的展开式中各项系数之和是an,（2x3+5)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn,则的值为 .答案 11、设mN*,nN*,若f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n的展开式中x的系数为13，则x2的系数为 .答案 31或4012、（1+x）6(1-x)4展开式中x3的系数是 .答案 -813、（2008天津理，11）的二项展开式中x2的系数是 .（用数字作答）答案 40二、解答题14、已知(+)n (nN*)的展开式中第5项的系数与

19、第3项的系数之比为101.求展开式中系数最大的是第几项？解 依题意，第5项的系数为C24，第三项的系数为C22，则有=，解得n=8.设展开式中第r+1项的系数最大，则解得5r6.第6项和第7项的系数相等且最大，即最大为5625=728=1 792.15、已知（+3x2）n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.解 令x=1，得各项的系数和为（1+3）n=4n，而各项的二项式系数和为：C+C+C=2n，4n=2n+992.(2n-32)(2n+31)=02n=32或2n=-31（舍去），n=5 设第r+1项的系数最大，则即r，又rZ，r=4，系数最大的项是T5=

20、Cx（3x2）4=405x.16、（1）求(x2-)9的展开式中的常数项；（2）已知(-)9的展开式中x3的系数为，求常数a的值；（3）求（x2+3x+2）5的展开式中含x的项.解 （1）设第r+1项为常数项，则Tr+1=C(x2）9-r(-)r=(-)rCx令18-3r=0,得r=6,即第7项为常数项.T7=C=.常数项为.(2)设第r+1项是含x3的项，则有C()9-r=x3,得：xr-9x=x3，故r-9=3,即r=8.Ca（-）8=，a=4.（3）（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5，（x2+3x+2）5的展开式中含x的项是（x+1）5展开式中的一次项与（x+2）5展开式中的常数项之积，（x+1）5展开式中的常数项与(x+2)5展开式中的一次项之积的代数和.含x的项为CxC25+C1Cx24=240x.（也可