（全国通用）2018年高考数学 考点一遍过 专题10 函数模型及其应用（含解析）理

1、考点10 函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.一、常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型(为常数，)反比例函数模型(为常数且)二次函数模型（均为常数，）指数函数模型（均为常数，）对数函数模型（为常数，）幂函数模型（为常数，）二、几类函数模型的增长差异函数性质在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓介于指数函数与对数函数之间,相对平稳图象的变化随x的增大

2、，图象与轴接近平行随x的增大，图象与轴接近平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个，当时，有三、函数模型的应用解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.用框图表示如下：数学问题实际问题 建模 审题、转化、抽象 问题 解决 解模 运算实际问题结论数学问题答案 还原 结合实际意义考向一 二次函数模型的应用在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.

3、根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.典例1 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与投入（单位：万元）满足，设甲大棚的投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收益为（单位：万元）.（1）求的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使

4、总收益最大？ .所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.【名师点睛】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围.1某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？考向二 指数函数、对数函数模型的应用（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞

5、分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.典例2 一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林面积为.（1）求p%的值;（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?（3）今后最多还能砍伐多少年?故今后最多还能砍伐15年.典例3 我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2 ()表示

6、，但在实际测量时，常用声音的强度水平表示，它们满足以下公式：(单位为分贝，其中，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答以下问题：（1）树叶沙沙声的强度是，耳语的强度是，恬静的无线电广播的强度是，试分别求出它们的强度水平；（2）某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度的范围为多少？所以，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.（2）由题意知：，即，所以，即.所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于，同时应小于.2在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:米/秒)和燃料的质量M(单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:千克

7、)的函数关系式是v=2000ln(1+).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.考向三 分段函数模型的应用（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起要注意各段变量的范围，特别是端点（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏典例4 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数

8、图象如图所示过线段OC上一点作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）（1）当时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由【解析】（1）由图象可知，当时，（km）（2）当时，；当时，；当时，. 3某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价P(单位:元/102 kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系,西红柿种植成本

9、Q(单位:元/102 kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的纯收益最大?考向四 函数模型的比较根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.典例5 某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产

10、量（单位：万件）与月份的关系. 模拟函数；模拟函数.（1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.则有，解得，即，当时，所以选用模拟函数1较好（2）因为模拟函数1：是单调增函数，所以当时，生产量远大于他的最高限量；模拟函数2：也是单调增函数，但生产量，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：好当时，所以预测6月份的产量为万件.4某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两

11、套方案对污水进行处理，并准备实施.方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？1某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用A一次函数 B二次函数C指数型函数 D对数

12、型函数2已知三个函数模型：，当时，随的增大，三个函数中的增长速度越来越快的是A BC D32003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是A BC D4某林场今年造林10000亩，计划以后每一年比前一年多造林10%，那么从明年算起第3年内将造林( )亩A13000 B13310C12100 D330005研究表明,当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若某一死亡生物组织内的碳14经过个“半衰期”后，用一般的放射性探测器测不到碳14了,则的最小值是A9

13、 B10C11 D126某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：毫克升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（k，P0均为正的常数）若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需（ ）小时过滤才可以排放A BC5 D107某商场销售型商品.已知该商品的进价是每件元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价（元）日均销售量（件）请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价(单位:元/件) 应为A BC D8某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中

14、k为常数;t表示时间,单位:小时;y表示病毒个数),则k=,经过5小时,1个病毒能繁殖为个.9某种产品的产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售量变化情况.有下叙述：（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.你认为较合理的是 （把你认为合理结论的序号都填上）.10为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单

15、位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？11某上市股票在30天内每股的交易价格(元)与时间(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上.该股票在30天内的日交易量(万股)与时间(天)的部分数据如下表所示：第天4101622(万股)36302418（1）根据提供的图象,写出该股票每股

16、交易价格(元)与时间(天)所满足的函数关系式;（2）根据表中数据,写出日交易量(万股)与时间(天)的一次函数关系式;（3）用(万元)表示该股票日交易额，写出关于的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大,最大值为多少?12已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元，若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份之间的函数关系式分别符合下列函数模型：,.（1）求函数fx与gx的解析式；（2）求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；（3）在同一平面直角坐标系下画出函数fx与gx的草图，并根据草图比较今年1至10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况.1（2014湖南理科）某市

17、生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A B C D2（2015四川理科）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.变式拓展 .当时，最大，且最大值为元，所以当每辆车的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是元2【答案】e6-1【解析】当v=12000米/秒时,2000ln(1+)=12000,ln(1+)=6,=e6-1.3【解析】（1）由图1可得市场售价与时

18、间的函数关系式为.由图2可得种植成本与时间的函数关系式为.（2）设上市时间为t时的纯收益为h(t),则由题意,得,即.当时,整理,得,当t=50时,h(t)取得最大值100；当时,整理,得,当t=300时,h(t)取得最大值87.5.综上,当t=50时,即从2月1日开始的第50天上市的西红柿纯收益最大.4【解析】设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为，依方案二的利润为y2，由题意知y1=50-25x-2脳0.5x-30000=24x-30000，.（1）当x=3000时，y1=42000，y2=54000，因为y1y2，所以应选择方案一处理污水.考点冲关1【答案】D 2【答案】C【解析】三个函数模型：，当时，指数函数是爆炸型增长，因此选C.3【答案】D【解析】观察题图，结合各选项中函数的函数值随着自变量的变化规律可知，D项中函数最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化的规律.4【答案】B【解析】依题意可得，从明年算起第3年内将造林亩，故选B.5【答案】B【解析】由题意知,即2n1000,所以的最小值是10.选B.6【答案】C【解析】设原污染物的数量为，则由题意有，所以设小时后