二次函数综合较难教师用

1、函数及图象中考考点分析 对函数的考查内容有自变量的取值范围、函数图像的性质与特征、变量之间的函数关系等。考查的形式有选择、填空和解答。其中函数型综合解答题的分值较大。函数型综合题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何方程与函数相结合型综合问题，历来是各地中考试题中的热点题型主要是以函数为主线，建立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论

2、思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此是中考的热点题型，压轴题的主要来源，并且长盛不衰，年年有新花样【例题精选】：例1：DABC的边AB=6，BC=4，CA=3，在AB边上取一点M，设AM=x，过M作MP/CA交BC于P，作MQ/BC交AC于Q。求四边形MPCQ的周长y关于x的函数关系及自变量x的取值范围。分析：题目的关键是将四边形PMQC的边用含x的代数式表示，由题意看出只有通过相似求出各边才行，因为有平行线就有相似形。解：MQ/BC，又PM/AC， x的取值范围为（）。说明：x的取值范围，要考虑图形中M点在AB边上运动，因此AM的长度应当大于0而小于6。考虑自变量

3、取值范围时，要根据实际情况具体问题具体分析。例2已知函数的图象与轴的两交点的横坐标分别是，且，求c及，的值解：令，即，当方程有两个不相等的实数根时，该函数的图象与x轴有两个交点 相关链接 ：若是一元二次方程的两根，则此时即 由已知，(舍去)当时，解得综上：，为所求例3. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，（1）试证明；（2）证明；（3）对于二次函数，若自变量取值为，其对应的函数值为，则当时，试比较与的大小解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式，即 是该方程的两个实数根 ， 而 （2） 于是，即 （3）当时，有 ， 又 ， 于是 由于， ，即 当时，有例4. 如图，二次函数的图象

4、与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D（1）求D点的坐标（2）求一次函数的解析式（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的的取值范围分析与解答 （1）由图可得C（0，3）抛物线是轴对称图形，且抛物线与轴的两个交点为A（3，0）、B（1，0），抛物线的对称轴为，D点的坐标为（2，3）（2）设一次函数的解析式为，将点D（2，3）、B（1，0）代入解析式，可得，解得一次函数的解析式为（3）当时，一次函数的值大于二次函数的值说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想

5、的运用等例5. 如图2421，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为（1，0），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式（2）求MCB的面积分析与解答 第（1）问，已知抛物线上三个点的坐标，利用待定系数法可求出其解析式第（20问，MCB不是一个特殊三角形，我们可利用面积分割的方法转化成特殊的面积求解（1） 设抛物线的解析式为，根据题意，得，解之，得所求抛物线的解析式为（2）C点的坐标为（0，5）OC5令，则，解得B点坐标为（5，0）OB5，顶点M坐标为（2，9）过点M用MNAB于点N，则ON2，MN9说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见

6、的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解例6. 已知抛物线与轴交于、，与轴交于点C，且、满足条件（1）求抛物线的解析式；（2）能否找到直线与抛物线交于P、Q两点，使轴恰好平分CPQ的面积？求出、所满足的条件 解答（1），对一切实数，抛物线与轴恒有两个交点，由根与系数的关系得，由已知有，得由得化简，得解得，满足当时，不满足，抛物线的解析式为（2）如图2422，设存在直线与抛物线交于点P、Q，使轴平分CPQ的面积，设点P的横坐标为，直线与轴交

7、于点E，由轴平分CPQ的面积得点P、Q在轴的两侧，即，由得又、是方程的两根，又直线与抛物线有两个交点，当时，直线与抛物线的交点P、Q，使轴能平分CPQ的面积故说明 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化例如：二次函数与轴有交点可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等例7. 例13. 已知：抛物线y=ax2+bx+c经过原点（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）两点（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，以

8、OC为直径作M，如果过抛物线上一点P作M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交点为E，连接MD，已知E点的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积（用含m的代数式表示）；（3）延长DM交M于点N，连接ON，OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得四边形EOMD和DON的面积相等，请求出此时点P的坐标解：（1）抛物线过O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）三点，c=0a+b+c=-3a-b+c=5，解得a=1b=-4c=0；抛物线的解析式为y=x2-4x；（2）抛物线y=x2-4x与x轴的另一个交点坐标为C（4，0），连接EM；M的半径为2，即OM=DM=2；ED、EO都是M

9、的切线，EO=ED，EOMEDM；S四边形EOMD=2SOME=212OMOE=2m；（3）设点D的坐标为（x0，y0），SDON=2SDOM=212OMy0=2y0，当S四边形EOMD=SDON时，即2m=2y0，m=y0；m=y0，EDx轴，又ED为切线，D点的坐标为（2，2）；P在直线ED上，故设P点的坐标为（x，2），P在抛物线上，2=x2-4x，解得x=26；P（2+6，2）或P（2-6，2）为所求图9例8. 如图9，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，其中过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，（1）若的面积为4，求点的坐标；（2）求证：；（3）当时，求直线的函

10、数解析式（1）解：函数，是常数）图象经过，设交于点，据题意，可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，由的面积为4，即，得，点的坐标为（2）证明：据题意，点的坐标为，易得， ， （3）解：，当时，有两种情况：当时，四边形是平行四边形，由（2）得，得点的坐标是（2，2）设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，得解得 直线的函数解析式是当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，则，点的坐标是（4，1）设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，得解得 直线的函数解析式是综上所述，所求直线的函数解析式是或例9如图10，已知抛物线P：yax2bxc(a0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于

11、点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x3212y40图10（1） 求A、B、C三点的坐标；（2） 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；（3） 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FMkDF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述（2）、（3）小题换为下列问题解答(已知条件及第（1）小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：（2） 若点D的坐标为(1，0

12、)，求矩形DEFG的面积解： 解法一：设，任取x，y的三组值代入，求出解析式，令y0，求出；令x0，得y4， A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(4，0)，C(0，4) 解法二：由抛物线P过点(1，)，(3，)可知，抛物线P的对称轴方程为x1，又 抛物线P过(2，0)、(2，4)，则由抛物线的对称性可知，点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(4，0)，C(0，4) 由题意，而AO2，OC4，AD2m，故DG42m，又 ，EFDG，得BE42m， DE3m，SDEFGDGDE(42m) 3m12m6m2 (0m2) SDEFG12m6m2 (0m2)，m1时，矩形的面积最大，且最大

13、面积是6 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，2)，F(2，2)，E(2，0)，设直线DF的解析式为ykxb，易知，k，b，又可求得抛物线P的解析式为：，令，可求出x. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有，点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k且k0若选择另一问题： ，而AD1，AO2，OC4，则DG2，又， 而AB6，CP2，OC4，则FG3，SDEFGDGFG6课后练习：1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的

14、值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.EBACP图1OxyD2、如图2，已知二次函数的图像经过点A和点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；xyO3911AB图2（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m0），且这两点关于抛物线的对

15、称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离3、如图3，已知抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连结AB，过点B作BC轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线ABC的路线向C点运动. 设这两个动点运动的时间为（秒) (04)，PQA的面积记为S. 求S与的函数关系式； 当为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时PQA的形状； 是否存在这样的值，使得PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. PBA

16、COQ图37、（07海南中考）如图7，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S .请问、两点在运动过程中，是否存在，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；备用备用图7设是中函数S的最大值，那么 = . 4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司

17、经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和S与之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S与时间之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；-30-1-21234S(万元)图41 2 3 4 5 6 t(月)（4）求第8个月公司所获利是多少元？5、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线的顶点坐标为E（1,0），与轴的交点坐标为（0,1）.（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A、B是轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的

18、左边，过A作AD轴交抛物线于D，过B作BC轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（,0），四边形ABCD的面积为S. 求S与之间的函数关系式. 求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？ 当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时PAE的周长；若不存在，说明理由.EO1备用图D图5EBACO16、(07浙江中考)如图6，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行

19、线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；图6备用图（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。图88、（05海南中考）如图8，抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足SPAB=8,并求出此时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.x经y经0经1经2

20、经34经-1经-1经-2经-3经1经2经ABCD图99、（04海口中考）如图9、已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2) 设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作ABx轴于B，DCx轴于C.当BC=1时，求矩形ABCD的周长；试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.10、（07本校模拟一）如图10，已知点A(0,8)，在ABCDOyx图10抛物线上，

21、以A为顶点的四边形ABCD是平行四边形，且项点B，C，D在抛物线上，ADx轴，点D在第一象限.(1)求BC的长；(2)若点P是线段CD上一动点，当点P运动到何位置时，DAP的面积是7.(3)连结AC，E为AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线OE将o ABCD分成面积相等的两部分？并求此时E点的坐标及直线OE的函数关系式.11、（07本校模拟二）MN10米20米6米5米图11-1图11-2DEOxABCy一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，其表达式是的形式. 请根据所给的数据

22、求出的值.（2）求支柱MN的长度.（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE是一条宽2米的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.课后练习答案：1、 (1) m=1. 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x2-2x+1. (2) 设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE . PE=h=yP-yE =(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x. 即h=-x2+3x (0x3). (3) 存在. 要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. 点D在直线y=x+1上, 点D的坐标为(1,2), -x2+3x=2 .即x2

23、-3x+2=0 .解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.2、解：（1）二次函数的表达式为 （2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入，得 ，解得m0，不合题意，舍去m=6点P与点Q关于对称轴对称，点Q到x轴的距离为63、（1） 所求抛物线的函数关系式为. EFPBACOQ图13 （2） 过点B作BE轴于E，则BE=，AE=1，AB=2. 由tanBAE=，得BAE =60. （）当点Q在线段AB上运动，即02时，QA=t，PA=4-.过点Q作QF轴于F，则QF=， S=PAQF. （）当点Q在线段BC上运动

24、，即24时，Q点的纵坐标为，PA=4-.这S=（）当02时，. ， 当=2时，S有最大值，最大值S=.（）当24时， ， S随着的增大而减小. 当=2时，S有最大值，最大值. 综合（）（），当=2时，S有最大值，最大值为. PQA是等边三角形. 存在. 当点Q在线段AB上运动时，要使得PQA是直角三角形，必须使得PQA =90，这时PA=2QA，即4-=2， . P、Q两点的坐标分别为P1(,0)，Q1(,). 当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-和，要使得PQA是直角三角形，则必须5-=， P、Q两点的坐标分别为P2(,0)，Q2(,)4、（1）由图象可知公司从第4个月末以

25、后开始扭亏为盈 （2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2. 所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得 a(t-2)2-2=0，解得a= . 所求函数关系式为：S=t-2)2-2或S=t2-2t. （3）把S=30代入S=t-2)2-2，得t-2)2-2=30 解得t1=10，t2=-6（舍去）. EO1DBACP答：截止到10月末公司累积利润可达30万元. （4）把t=7代入关系式，得S=72-27=10.5 把t=8代入关系式，得S=82-28=16 16-10.5=5.5 答：第8个月公司所获利是5.5万元. 5、（1） 抛物线顶点为F（1,0

26、） 该抛线经过点E（0,1） ， 即函数关系式为. （2） A点的坐标为（,0）, AB=4，且点C、D在抛物线上， B、C、D点的坐标分别为(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2). . 当=-1时，四边形ABCD的最小面积为16此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD是正方形 当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，其对角线BD上存在点P, 使得PAE的周长最小. AE=4（定值），要使PAE的周长最小，只需PA+PE最小.此时四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD所在直线对称,由几何知识可知，P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点.点E、B、C、D的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4）直线BD，EC的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2. P(,) 在RtCEB中，CE=, PAE的最小周长=