高中数学 2.1.2 椭圆的简单性质二教案 北师大选修

1、第二章 圆锥曲线与方程2.1.2 椭圆的简单性质教学过程：一、复习引入：1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2标准方程：， （）3问题：（1）椭圆曲线的几何意义是什么？（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草

2、图的方法是怎样的？ 二、讲解新课： 由椭圆方程() 研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致) (1)范围: 从标准方程得出,即有,，可知椭圆落在组成的矩形中(2)对称性:把方程中的换成方程不变，图象关于轴对称换成方程不变，图象关于轴对称把同时换成方程也不变，图象关于原点对称如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆的方程里，令得，因此椭圆和轴有两个交点，它们是椭圆的顶点令，得，因此椭圆和轴有

3、两个交，它们也是椭圆的顶点 因此椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点. 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴长分别为分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点因而只需少量描点就可以较正确的作图了 (4)离心率:发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同这种扁平性质由什么来决定呢？概念：椭圆焦距与长轴长之比定义式：范围：考察椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 三、讲解范例：例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点

4、和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形解：把已知方程化成标准方程 所以，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是， 将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：01234543.93.73.22.40 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：（1）（2）答：简图如下：例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：（1）（2）答：简图如下： 四、课堂练习：1已知椭圆的一个焦点将长轴分为:两段，求其离心率解：由题意，=:,即,解得 2如图，求椭圆,()内接正方形ABCD的面积 解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等，故设B（),代入椭圆方程求得,即正方形ABCD面积为五、小结 ：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习