人教A数学选修21同课异构教学课件242抛物线的简单几何性质1精讲优练课型

1、2.4.2抛物线的简单几何性质 第1课时抛物线的简单几何性质,【自主预习】 抛物线的简单几何性质,x0,yR,x0,yR,xR,y0,xR,y0,x,y,O(0,0),1,【即时小测】 1.抛物线y2=-4px(p0)的焦点为F,准线为l,则p表示() A.F到l的距离B.F到y轴的距离 C.F点的横坐标D.F到l的距离的 【解析】选B.考查y2=2px(p0)中的p的意义的灵活运 用.,2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点作直线交抛物线于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则|PQ|等于() A.4pB.5pC.6pD.8p 【解析】选A.因为PQ过焦点,所以|P

2、Q|=x1+x2+p=4p.,3.顶点在原点,对称轴是x轴,并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线的方程是.,【解析】因为顶点与焦点距离为6, 即 =6,所以2p=24, 又因为对称轴为x轴, 所以抛物线的方程为y2=24x或y2=-24x. 答案:y2=24x或y2=-24x,【知识探究】 探究点抛物线的几何性质 1.抛物线x2=2py(p0)有几条对称轴?是不是中心对称图形? 提示:有一条对称轴;不是中心对称图形.,2.影响抛物线开口大小的量是什么,是如何影响的? 提示:参数p影响抛物线开口大小,p值越大,抛物线的开口越开阔,p越小,开口越扁狭.,【归纳总结】 1.抛物线的焦点弦 如图,AB是

3、过抛物线y2=2px(p0) 焦点F的一条弦,设A(x1,y1), B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0), 相应的准线为l.,(1)以AB为直径的圆必与准线l相切. (2)|AB|= (焦点弦长与中点关系). (3)|AB|=x1+x2+p. (4)若直线AB的倾斜角为,则|AB|= 如当=90时,AB叫做抛物线的通径,是所有焦点弦中 最短的.,(5)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即 x1x2= ,y1y2=-p2.,2.抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系,特别提醒:抛物线是轴对称图形,其对称轴为x轴或y轴,只有一个顶点,一个焦点,一条准线,并且离心率为1.,类型一由

4、抛物线的几何性质求标准方程 【典例】1.(2016潍坊高二检测)平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p0)的焦点,则该抛物线的标准方程是.,2.抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.,【解题探究】1.本例1中抛物线的焦点有什么特点? 提示:抛物线的焦点是线段OA的垂直平分线与x轴的交点. 2.本例2中抛物线的对称轴是什么? 提示:抛物线的对称轴是椭圆的短轴即x轴.,【解析】1.由题知线段OA的垂直平分线为4x+2y-5=0, 与x轴的交点为 所以

5、抛物线的焦点为 所以其标准方程是y2=5x. 答案:y2=5x,2.椭圆的方程可化为 =1,其短轴在x轴上, 所以抛物线的对称轴为x轴, 所以设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p0). 因为抛物线的焦点到顶点的距离为3, 即 =3,所以p=6, 所以抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x, 其准线方程分别为x=-3或x=3.,【延伸探究】将本例2改为“抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积等于4”,求此抛物线的标准方程.,【解析】由题意,设抛物线方程为y2=2mx(m0), 焦点F ,直线l:x= 所以A,B两

6、点坐标为 所以|AB|=2|m|. 因为OAB的面积为4, 所以 2|m|=4,所以m=2 . 所以抛物线的标准方程为y2=4 x.,【方法技巧】用待定系数法求抛物线方程的步骤,特别提醒:求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置,不同的焦点设出不同的方程.,【变式训练】已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6,求抛物线的方程.,【解析】设抛物线的方程为y2=2ax(a0),点P(x0,y0). 因为点P到对称轴距离为6,所以y0=6. 因为点P到准线距离为10,所以 因为点P在抛物线上,所以36=2ax0. 由,得 所以所求抛物线的方程为y2=4x或

7、y2=36x.,类型二焦点弦问题 【典例】已知抛物线方程为y2=2px(p0),过此抛物线 的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|= p,求AB 所在直线的方程.,【解题探究】本例中|AB|如何表示? 提示:|AB|=x1+x2+p.,【解析】如图所示,抛物线y2=2px(p0)的准线为 x=- ,A(x1,y1),B(x2,y2), 设A,B到准线的距离分别为dA,dB, 由抛物线的定义知, |AF|=dA=x1+ ,|BF|=dB=x2+ ,于是|AB|=x1+x2+p= p, x1+x2= p.,当x1=x2时,|AB|=2p p,所以直线AB与Ox不垂直. 设直线AB的方程为y

8、= 由 得k2x2-p(k2+2)x+ k2p2=0, x1+x2 解得k=2,所以直线AB的方程为,【延伸探究】 1.本例条件不变,求弦AB的中点M到y轴的距离.,【解析】设A,B,M在其准线上的射 影分别为A1,B1,M1,由梯形中位 线的性质可知 |MM1|= (|AA1|+|BB1|) = (|AF|+|BF|)= |AB|= 故弦AB的中点M到y轴的距离为|MM1|- = p.,2.本例中,若点A,B在其准线上的射影分别为点A1,B1,求A1FB1. 【解析】方法一:设抛物线方程为y2=2px(p0),直线AB 的方程为x=my+ .消去x得y2-2mpy-p2=0. 设A(x1,y

9、1),B(x2,y2), 则y1y2=-p2.,又 所以 =(p,-y1), =(p,-y2), 则 =p2+y1y2=0,即A1FB1=90.,方法二:如图所示, 因为|AA1|=|AF|, |BB1|=|BF|, 所以1=2,5=6. 又因为AA1BB1x轴, 所以1=3,6=4,所以2=3,4=5, 所以2+3+4+5=2(3+4)=180, 所以3+4=90,即A1FB1=90.,【方法技巧】 1.抛物线的焦半径,2.过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1), B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方

10、程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.,【拓展延伸】抛物线的通径,【补偿训练】(2016聊城高二检测)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6. (1)求抛物线C的方程. (2)若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值.,【解题指南】(1)由题意设抛物线方程为y2=2px,其准 线方程为x=- ,根据抛物线的性质可得:4+ =6,进而 得到答案. (2)联立直线与抛物线的方程得k2x2-(4k+8)x+4=0,根 据题意可得=64(k+1)0即k-1且k0,再结合根与系 数的关系可得k的值.,【解

11、析】(1)由题意设抛物线方程为y2=2px,其准线方 程为x=- ,因为P(4,m)到焦点的距离等于P到其准线的 距离,所以4+ =6,所以p=4,所以抛物线C的方程为 y2=8x.,(2)由 消去y,得k2x2-(4k+8)x+4=0. 因为直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A,B,则有 k0,=64(k+1)0,解得k-1且k0. 又 解得k=2或k=-1(舍去),所以k的值为2.,类型三抛物线性质的应用 【典例】1.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且AFO=120(O为坐标原点),AKl,垂足为K,则AKF的面积是. 2.已知正三角形AOB的一个顶点O位于

12、坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p0)上,求这个三角形的边长.,【解题探究】 1.本例1中由题设条件,要求AKF的面积,只需求出什么? 提示:根据题设条件,要求AKF的面积,只需求出点A的坐标即可.,2.本例2中三角形的另两个顶点应满足什么关系? 提示:根据抛物线的对称性及三角形为正三角形,故A,B两点应关于x轴对称.,【解析】1.如图,设A(x0,y0), 过A作AHx轴于H, 在RtAFH中,|FH|=x0-1, 由AFO=120得AFH=60, 故y0=|AH|= (x0-1), 所以点A的坐标为(x0, (x0-1),将此代入抛物线方程可得 -10 x0+3=0, 解

13、得x0=3或x0= (舍), 故SAKF= (3+1)2 =4 . 答案:4,2.如图所示,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上, 且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 则 又OA=OB,所以 即 +2px1-2px2=0, 整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.,因为x10,x20,2p0, 所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2|, 即线段AB关于x轴对称. 由此得AOx=30, 所以y1= x1,与 =2px1联立, 解得y1=2 p.,所以|AB|=2y1=4 p. 即这个三角形的边长为4 p.,【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性:解决抛物

14、线的内接三角形问题. (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点:解决焦点弦问题.,【变式训练】已知三角形AOB为直角三角形,且AOB=90,另外两个顶点A,B在抛物线方程y2=2px (p0)上,判断直线AB是否恒过定点?,【解析】直线AB恒过定点(2p，0). 设 由OAOB，故 =-1，得：,所以直线AB的方程为 即 将 代入上式得 故直线AB恒过定点(2p，0).,【补偿训练】等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上.若该三角形的斜边长为4,求抛物线的方程.,【解析】如图,设等腰直角三角形OAB的顶点A,B在抛物线上.根据抛物线的性质知A,B关于x轴对称. 由题意得A(2,2)在抛物线y2=2px上,所以p=1,抛物线的方程为y2=2x.,自我纠错由抛物线的几何性质求标准方程 【典例】顶点在原点,焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为_.,【失误案例】