人教A数学选修21同课异构教学课件312空间向量的数乘运算精讲优练课型

1、3.1.2 空间向量的数乘运算,【自主预习】 1.空间向量的数乘运算 (1)定义：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个 _，称为向量的数乘运算.,向量,(2)向量a与a的关系：,相同,0,相反,|,(3)空间向量的数乘运算律： 分配律：(a+b) =_； 结合律：(a) =_.,a+b,()a,2.平行(共线)向量 (1)位置关系：表示空间向量的有向线段所在的直线 的位置关系：_. (2)特征：方向_. (3)特例：零向量与_共线. (4)充要条件：对空间任意两个向量a，b(b0)， ab的充要条件是存在实数，使_.,互相平行或重合,相同或相反,任意向量,a=b,(5)推论：对空间任意一点O,点

2、P在直线l上的充要条件 是存在实数t满足等式_,向量a为直线l的_ _或在直线l上取向量 则 =_.,方,向向量,3.共面向量 (1)定义：平行于同一个_的向量. (2)充要条件：向量p与不共线向量a,b共面的充要条件 是存在_的有序实数对(x,y)使_. (3)推论：点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实 数对(x,y)，使 =_或对空间任意一点O，有 =_.,平面,惟一,p=xa+yb,【即时小测】 1.若e1,e2不共线，则下列各组中的两个向量a,b共线的是( ),【解析】选C.C选项中满足b=6a.,2.已知空间向量a,b,且 则一定共线的三点是( ) A.A，B，D B.A，B，

3、C C.B，C，D D.A，C，D 【解析】选A.因为 所以A， B，D三点共线.,3.点C在线段AB上，且AB=5，BC=3， 则=_. 【解析】因为点C在线段AB上，所以 方向相反， 又因为|AB|=5，|BC|=3，所以 答案：,【知识探究】 探究点1空间向量的数乘运算 1.实数与空间向量的乘积其结果仍然是向量吗？ 提示：实数只是改变向量的大小或方向，所以仍然是向量.,2.a与a的方向和模有什么关系？ 提示：a是一个向量，其模为|a|. 当0时，a与a同向，当0时，a与a反向，当=0时，a=0.,【归纳总结】 对a的三点说明 (1)含义：a是实数与向量a间的运算. (2)的作用：的正负影

4、响着向量a的方向，的大小影响着向量a的长度. (3)a的作用：向量a与向量a一定是共线向量.,探究点2共线向量 1.共线向量的特征是什么？ 提示：所有的共线向量都可以平移到同一条直线上. 2.如何判断两个非零向量共线？ 提示：(1)两个非零向量方向相同或相反. (2)存在R，使b=a.,【归纳总结】 对空间共线向量的两点说明 (1)类比理解：空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，平面共线向量的结论在空间共线向量中仍然成立.,(2)共线的理解：“共线”这个概念具有自反性，也具有对称性，即若ab，则ba. 特别提醒：0与任何向量共线.,【拓展延伸】共线向量充要条件的三个关注点 (1)区别：共线

5、向量与直线平行的区别，直线平行不包括两直线重合的情况，而我们说的两个共线向量ab，表示向量a，b的有向线段所在直线既可以是同一直线，也可以是两条平行直线.,(2)零向量：共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b0不可遗漏. (3)方向向量的个数：直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量.一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反.,探究点3共面向量 1.空间任意两个向量是共面向量吗？ 提示：根据共面向量的定义，空间任意两个向量都是共面向量. 2.若向量c与非零不共线向量a，b共面，则c与a，b有什么关系？ 提示：存在x，yR，使c=xa+yb.,【归纳总结】

6、对共面向量的两点说明 (1)共面的理解：共面向量是指与同一个平面平行的向量，可将共面向量平移到同一个平面内. 共面向量所在的直线可能相交、平行或异面.,(2)向量的“自由性”：空间任意的两向量都是共面的.只要方向相同，大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量.,【拓展延伸】共面向量充要条件的三个作用 (1)建立共面向量之间的向量关系式： 用两个不共线的向量可以表示与这两个向量共面的任意向量.例如：如果两个向量a，b不共线，由向量c与向量a，b共面可得，存在惟一的一对实数x，y，使c=xa+yb.,(2)证明三个向量共面： 如果向量a，b，c满足关系式c=xa+yb，

7、那么可以判定向量a，b，c是共面向量.,(3)证明四个点共面： 空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序 实数对(x，y)，使 满足这个关系式的 点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满 足这个关系式,类型一 共线问题 【典例】1.设e1,e2是空间两个不共线向量，若 e1+ke2, =5e1+4e2, =-e1-2e2且A，B，D三点共线， 则实数k=_. 2.已知空间向量c,d不共线，设向量a=kc+d,b=c-k2d, 且a与b共线，则实数k的值为_.,3.已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面， M，N分别是AC，BF的中点，试判断 是否共线.,【解

8、题探究】1.典例1中，如何用向量表示A,B,D三点共线？ 提示：存在R，使 2.典例2中，向量a,b共线如何应用？ 提示：存在实数，使a=b成立，求，k的值.,3.典例3中，如何判断 是否共线？ 提示：看是否存在实数使 若存在，则 与 共线，否则，不共线.,【解析】1.因为 5e1+4e2, =-e1-2e2, 所以 =(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2. 因为A,B,D三点共线， 所以存在实数，使得 即e1+ke2=(6e1+6e2). 因为e1,e2不共线， 所以 解得k=1. 答案：1,2.因为c，d不共线，所以c0，且d0. 由a与b共线，知存在R使a=b成立， 即k

9、c+d=(c-k2d)， 整理得(k-)c+(1+k2)d=0， 所以 解得k=-1. 答案：-1,3.因为M，N分别是AC，BF的中点，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形， 所以,又 所以 所以 共线.,【方法技巧】 1.判断向量共线的策略 (1)熟记共线向量充要条件：ab，b0，则存在惟一实数使a=b；若存在惟一实数，使a=b，b0，则ab. (2)判断向量共线的关键：找到实数.,2.证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线. (1)存在实数,使 成立. (2)对空间任一点O，有 (3)对空间任一点O，有,【变式训练】已知空间四边形ABCD，E

10、,F分别是AB与AD 边上的点，M,N分别是BC与CD边上的点，若 则向量EF与MN满足的关系 为( ),【解析】选B. 即 同理 因为 所以 即 又与不一定相等， 故 不一定等于,类型二 空间向量的数乘运算及应用 【典例】如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， 设 M，N，P分别是AA1，BC，C1D1 的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1) (2) (3),【解题探究】本例中，用a，b，c表示向量的基本依据有哪些？ 提示：依据有向量加法的平行四边形法则和三角形法则，向量减法的三角形法则和数乘向量运算.,【解析】(1)因为P是C1D1的中点， 所以 (2)因为N是BC的

11、中点， 所以,(3)因为M是AA1的中点， 所以 又 所以,【延伸探究】1.若把本例中“P是C1D1的中点”改为 “P在线段C1D1上，且 ”，其他条件不变，如 何表示 ？ 【解析】因为P在线段C1D1上，且 所以,2.本例其他条件不变，若O是B1D1的中点，试用a，b， c表示向量,【解析】因为四边形AA1B1B是平行四边形， 所以 =b+a， 因为四边形AA1D1D是平行四边形， 所以 =c+a， 因为O是B1D1的中点，所以,【方法技巧】利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明

12、确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.,【知识拓展】非零向量的单位化 已知非零向量a和它的单位向量a0，显然向量|a|a0 与向量a等长且同向，所以有a=|a|a0或a0= 由 此可知，一个非零向量a除以它的模就可以得到它的单 位向量.从向量a求向量a0的过程就称为向量a的单位化. 特别提醒：任意一个非零向量a都对应唯一一个单位向 量,【补偿训练】已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外 一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心 O,Q是CD的中点，若 求式中x,y的值.,【解析】如图， 因为 所以,【延伸探究】 1.本题条件不变，若 求x，y的值. 【解析】

13、因为O为AC的中点，Q为CD的中点， 所以 所以 从而有 所以x2，y2.,2.如图，ABC为正三角形，P是ABC所在平面外一点， P在平面ABC上的射影恰好是正三角形ABC的中心O，Q是 BC的中点，若 求x,y,z的值.,【解析】由题意知 所以,类型三共面问题 【典例】1.(2016威海高二检测)已知A，B，M三点不 共线，对于平面ABM外任意一点O，则(1)(2)两个条件 可以确定点P与点A，B，M一定共面的是(填序号). (1) (2),2.已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足 判断MA，MB，MC三个向量是否 共面.,【解题探究】1.典例1中，判断P与A,B,M共面的依

14、据是 什么？ 提示：根据共面向量定理，看是否存在有序实数组 (,k)使 其中+k=1成立.,2.典例2中，如何判断三个向量 共面？ 提示：关键是看能否存在有序实数对(x,y),使 成立.,【解析】1.(1)因为 所以 所以 所以点P与点A，B，M共面. (2) 其中4+(-1)+(-1)21， 所以点P与A，B，M不共面.,答案：(1) 2.由 所以 所以 所以向量 共面.,【方法技巧】 1.利用四点共面求参数 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.,2.证明空间向量共面或四点共面的方法

15、 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两 个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p，a,b共面. (2)若存在有序实数组x,y,z使得对于空间任一点O，有 且x+y+z=1成立，则P，A，B，C四 点共面.,(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.,【变式训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空 间任意两点，如果有 那么 M必( ) A在平面BAD1内 B在平面BA1D内 C在平面BA1D1内 D在平面AB1C1内,【解题指南】利用向量线性运算法则，将 用 表示.,【解析】选C.由于 其中11-6-4=1，于是M，B，A1，D1四点共面， 所以M必在平面BA1D1内.,【补偿训练】(2016广州高二检测)对于任意空间 四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点.请问 与 是否共面？若共面，请证明，若不共面， 说明理由.,【解题指南】看是否存在x,y,使 【解析】 与 共面. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点. 由空间向量加法法则， 得 又 将代入得 即 与 共面.,自我纠错 【典例】已知非零