人教A数学选修21同课异构教学课件241抛物线及其标准方程精讲优练课型

1、2.4抛物线 2.4.1抛物线及其标准方程,【自主预习】 1.抛物线的定义 (1)定义:平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点 F)_的点的轨迹. (2)焦点:定点F. (3)准线:定直线l.,距离相等,2.抛物线标准方程的几种形式,y2=2px(p0),y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),【即时小测】 1.抛物线y2=20 x的焦点坐标是() A.(10,0)B.(5,0)C.(0,10)D.(0,5) 【解析】选B.因为2p=20,所以p=10,故 =5,且焦点在x 轴正半轴上.,2.抛物线y2=ax(a0)的焦点到其准线的距离是() 【解析】选B.由已

2、知焦点到准线的距离为p=,3.抛物线y=2x2的准线方程为. 【解析】化方程为标准方程形式为x2= y,故 ,开 口向上,所以准线方程为y=- . 答案:y=-,4.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为. 【解析】将y=ax2化为标准方程形式得x2= y, 即 =2,p=4,- =2p=8,所以a=- . 答案:-,【知识探究】 探究点抛物线的定义与标准方程 1.在抛物线定义中,若去掉条件“l不经过点F”,点的轨迹还是抛物线吗? 提示:不一定是抛物线.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线;l不经过点F时,点的轨迹是抛物线.,2.抛物线的标准方程中p的几何意

3、义是什么? 提示:p的几何意义是焦点到准线的距离. 3.确定抛物线的标准方程时,一般需要确定几个量? 提示:确定两个量,一个是p,另一个是一次项系数的正负.,【归纳总结】 1.对抛物线定义的两点说明 (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.,2.抛物线标准方程的特点 (1)是关于x,y的二元二次方程. (2)p的几何意义是焦点到准线的距离.,3.四种位置的抛物线的标准方程的对比 (1)共同点: 原点在抛物线上; 焦点在坐标轴上; 焦点的非零坐标都是一次项系数的 .,(2)不同点: 焦点在x轴上时,方程的右端为2px,左端为y2;焦点在

4、y轴上时,方程的右端为2py,左端为x2. 开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号.,特别提醒: 1.平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹不一定是抛物线. 2.注意每种情况下的焦点与准线方程的对应关系.,类型一求抛物线的标准方程 【典例】1.(2016济南高二检测)已知双曲线C1: (a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py (p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线 C2的方程为.,2.求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过

5、点M(-6,6). (2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上.,【解题探究】1.本例1中抛物线的焦点坐标是什么? 提示:抛物线的焦点坐标是 2.本例2(1)中已知抛物线上一点,如何确定开口方向? 提示:(1)中的点在第二象限,故抛物线的开口向上或向 左.,3.本例2(2)中怎样确定抛物线的焦点坐标? 提示:抛物线的焦点均在坐标轴上,故直线与坐标轴的交点即为抛物线的焦点坐标.,【解析】1.抛物线的焦点坐标为 ,双曲线的渐近 线方程为y= x,不妨取y= x,即bx-ay=0,焦点到渐 近线的距离为 即ap= =4c,所以 又双曲线的离心率为2,所以,所以p=8,所以抛物线的方程为x2=16y.

6、 答案:x2=16y,2.(1)由于点M(-6,6)在第二象限, 所以过M的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左,焦点在x轴上, 设其方程为y2=-2px(p0), 将点M(-6,6)代入,可得36=-2p(-6), 所以p=3.,所以抛物线的方程为y2=-6x. 若抛物线开口向上,焦点在y轴上, 设其方程为x2=2py(p0), 将点M(-6,6)代入,可得36=2p6,所以p=3, 所以抛物线的方程为x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.,(2)因为直线l与x轴的交点为(2,0), 所以抛物线的焦点是F(2,0), 所以 =2,所以p=4, 所以抛物线

7、的标准方程是y2=8x.,因为直线l与y轴的交点为(0,-3), 所以抛物线的焦点是F(0,-3), 所以 =3,所以p=6, 所以抛物线的标准方程是x2=-12y. 综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y.,【延伸探究】将本例2(2)的直线方程改为“x+3y+15=0”, 求抛物线的标准方程. 【解题指南】先确定焦点坐标,然后再确定p,最后确定 抛物线的标准方程.,【解析】因为直线x+3y+15=0与x轴交点为(-15,0) 所以抛物线的焦点是F(-15,0), 所以 =15,所以p=30, 所以抛物线的标准方程是y2=-60 x.,因为直线l与y轴的交点为(0,-5),

8、 所以抛物线的焦点是F(0,-5), 所以 =5,所以p=10, 所以抛物线的标准方程是x2=-20y. 综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=-60 x或x2=-20y.,【方法技巧】利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤 (1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型. (2)求参数p的值. (3)确定抛物线的标准方程.,特别提醒:当焦点位置不确定时,应分类讨论,也可以设y2=ax或x2=ay(a0)的形式,以简化讨论过程.,【变式训练】根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程是y=3. (2)过点P(-2 ,4). (3)焦点到准线的距离为 .,【解析】(1)由准线方程为y=3知抛物

9、线的焦点在y轴负 半轴上,且 =3,则p=6,故所求抛物线的标准方程为 x2=-12y. (2)因为点P(-2 ,4)在第二象限,所以设所求抛物线 的标准方程为y2=-2px(p0)或x2=2py(p0),将点P (-2 ,4)代入y2=-2px,得p=2 ;代入x2=2py,得p=1.,所以所求抛物线的标准方程为y2=-4 x或x2=2y. (3)由焦点到准线的距离为 ,得p= ,故所求抛物线 的标准方程为y2=2 x或y2=-2 x或x2=2 y或 x2=-2 y.,类型二抛物线的定义的应用 【典例】若位于y轴右侧的动点M到F 的距离比它 到y轴的距离大 .求点M的轨迹方程. 【解题探究】

10、典例中由“位于y轴右侧的动点M到F的距 离比它到y轴的距离大 ”你能得出动点M到F的距离与 它到哪条直线的距离相等?,提示:根据“位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴 的距离大 ”能得出动点M到F的距离与它到直线x=- 的距离相等.,【解析】由于位于y轴右侧的动点M到F 的距离比 它到y轴的距离大 ,所以动点M到F 的距离与它到 直线l:x=- 的距离相等.由抛物线的定义知动点M的轨 迹是以F为焦点,l为准线的抛物线(不包含原点),其方 程应为y2=2px(p0)的形式,而 ,所以p=1,2p=2,故 点M的轨迹方程为y2=2x(x0).,【延伸探究】 1.若本例中点M所在轨迹上一点N到点

11、F的距离为2,求点N的坐标.,【解析】设点N的坐标为(x0,y0),则|NF|=2, 即 ,又由典例的解析知点M的轨迹方 程为y2=2x(x0),故 =2x0, 由可得 故点N的坐标为,2.若本例中增加一点A(3,2),其他条件不变,求|MA|+ |MF|的最小值,并求出点M的坐标.,【解析】如图,由于点M在抛物线上,所以|MF|等于点M 到其准线l的距离|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|AN|=3+ = . 当A,M,N三点共线时,|MA|+|MN|取最小值, 亦即|MA|+|MF|取最小值 ,这时M的纵坐标为2,可设 M(x0,2),代入抛物线方程得x0=2,即M(2,2

12、).,【方法技巧】抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.,(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.,【补偿训练】已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值. 【解题指南】解本题的基本思路有两个,其一设抛物线方程,利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5,列出关于m,p的方程组求解;其二利用抛物线的定义

13、,得点M到准线的距离为5,直接得p的关系式,求出p值.,【解析】方法一:设抛物线方程为y2=2px(p0), 则焦点F ,由题设可得 解之得 故所求的抛物线方程为y2=8x,m的值为2 .,方法二:设抛物线方程为y2=2px(p0),焦点F ,准 线方程x=- ,根据抛物线定义,点M到焦点的距离等于M 到准线的距离,则3+ =5,所以p=4. 因此抛物线方程为y2=8x. 又点M(3,m)在抛物线上, 于是m2=24,所以m=2 .,类型三抛物线的实际应用 【典例】1.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是60cm,灯深40cm,则光源到反光镜顶点的距离是(

14、) A.11.25cmB.5.625cm C.20cmD.10cm,2.某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长.,【解题探究】1.本例1中应如何建系求解较简单? 提示:以反光镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系. 2.本例2中最长支柱应在什么位置? 提示:最长支柱应是离拱高4米的位置2米处的支柱.,【解析】1.选B.如图,建立直角坐标系,设抛物线方程 是y2=2px(p0).因为A(40,30)在抛物线上, 所以302=2p40,所以p= , 所以光源到反光镜顶点的距离为 =5.625(cm).,2.如图,建立

15、直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py (p0).依题意知,点P(10,-4)在抛物线上, 所以100=-2p(-4),2p=25. 即抛物线方程为x2=-25y. 因为每4米需用一根支柱支撑, 所以支柱横坐标分别为-6,-2,2,6.,由图知,AB是最长的支柱之一.A(2,-4),B |AB|= ,所以最长支柱的长为 米.,【方法技巧】求解抛物线实际应用题的五个步骤 (1)建系:建立适当的坐标系. (2)假设:设出合适的抛物线标准方程. (3)计算:通过计算求出抛物线标准方程. (4)求解:求出所要求出的量. (5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.,【变式训练】某大桥在涨水时有最

16、大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部分中央船体高5米,宽16米,且该货船在现在状况下还可多装1000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米,若不考虑水下深度,问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?,【解析】如图所示 以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴, 竖直直线为y轴,建立直角坐标系. 因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米, 所以A(10,-2).设桥孔上部抛物线方程是x2=-2py(p0),则102=-2p(-2),所以p=25,所以抛物线方

17、程为x2=-50y,即y=- x2. 若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x=8时, y=- 82=-1.28, 即船体在x=8之间通过,B(8,-1.28),此时B点距水面 6+(-1.28)=4.72(米) 而船体高为5米,所以无法通行.,又因为5-4.72=0.28(米),0.280.04=7, 1507=1050(吨), 所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加1050吨,而船最多还能装1000吨货物,所以货船在现有状况下不能通过桥孔.,【补偿训练】河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶5米 时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水 面上的部分高 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距

18、多 少米时,小船开始不能通航?,【解析】如图,建立坐标系,设拱桥抛物线 方程为x2=-2py(p0),由题意,将B(4,-5) 代入方程得p= , 所以抛物线方程为x2=- y. 因为当船的两侧和拱桥接触时船不能通航. 设此时船面宽为AA,则A(2,yA),由22=- yA,得yA=- . 所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2米时,小船开始 不能通航.,自我纠错求抛物线的标准方程 【典例】抛物线上一点(-5,-2 )到焦点F(x,0)的距 离是6,则抛物线的标准方程是( ) A.y2=-2x,y2=-18xB.y2=-4x,y2=-36x C.y2=-4xD.y2=-18x,y2=-36x,【失