人教A数学选修21同课异构教学课件221椭圆及其标准方程精讲优练课型

1、2.2椭圆 2.2.1椭圆及其标准方程,【自主预习】 1.椭圆的定义 (1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_ (大于|F1F2|)的点的轨迹. (2)焦点:两个定点F1,F2.,常数,(3)焦距:两焦点间的距离|F1F2|. (4)几何表示:|MF1|+|MF2|=_(常数)且2a_|F1F2|.,2a,2.椭圆的标准方程,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),a2=b2+c2,【即时小测】 1.椭圆 =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭 圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=_.,【解析】由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=6, 所以|PF2|=6-|P

2、F1|=6-4=2. 答案:2,2.椭圆25x2+16y2=400的焦点坐标为_,焦距为_.,【解析】把方程化为标准形式为 =1,可知焦点 在y轴上,则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9, 则c=3,所以焦点为(0,3),焦距为2c=6. 答案:(0,3)6,【知识探究】 探究点1椭圆的定义 1.平面内动点M到两定点F1,F2的距离之和等于常数(2a) 且2a|F1F2|,若2a=|F1F2|,则M的轨迹是什么?若2a |F1F2|,则M的轨迹是什么?,提示:当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2; 当2a|F1F2|时,点M的轨迹不存在.,2.确定椭圆的标准方程需要知

3、道哪些量? 提示:a,b的值及焦点所在的位置.,【归纳总结】 对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. (2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.,(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.,探究点2椭圆的标准方程 1.在椭圆的标准方程中abc一定成立吗? 提示:不一定,只要ab,ac即可,b,c大小关系不定. 2.根据椭圆方程,如何确定焦点位置? 提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就在相应的轴上.,【归纳总结】 对椭圆标准方程的两点认识 (1)标准方程的几何特征:椭圆

4、的中心在坐标原点,焦点 在x轴或y轴上. (2)标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是关于 与 的平方和,并且分母为不相等的正值.,特别提醒:焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形式也不同.,类型一求椭圆的标准方程 【典例】1.(2016武汉高二检测)过点(-3,2)且与 =1有相同焦点的椭圆的方程是(),2.根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到 两焦点的距离和为26. (2)经过点 两焦点间的距离为2,焦点在x轴上.,【解题探究】1.典例1中已知椭圆的焦点在哪个轴上? 提示:椭圆的焦点在x轴上,因为已知方程中x2项的分母较大.,2.

5、典例2(1)中焦点在y轴上的椭圆标准方程是怎样的? 典例2(2)中焦点在x轴上的椭圆标准方程是怎样的? 提示:(1) =1(ab0). (2) =1(ab0).,【解析】1.选A.由方程 =1可知,其焦点的坐标 为( ,0),即c= . 设所求椭圆方程为 =1(ab0),因为过点(-3,2), 代入方程得 =1(ab0), 解得a2=15(a2=3舍去). 故方程为 =1.,2.(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 =1(ab0). 因为2a=26,所以a=13,又c=5. 所以b2=a2-c2=144. 所以所求椭圆方程为 =1.,(2)设椭圆的标准方程为 =1(ab0), 因

6、为焦点在x轴上,2c=2,所以a2=b2+1, 又椭圆经过点 所以 =1, 解得b2=3,所以a2=4. 所以椭圆的标准方程为 =1.,【延伸探究】将典例2(1)改为两个焦点坐标分别是(5,0),(-5,0),其他条件不变,求椭圆的标准方程.,【解析】因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方 程为 =1(ab0), 因为2a=26,所以a=13,又c=5. 所以b2=a2-c2=144. 所以所求椭圆方程为 =1.,【方法技巧】求椭圆标准方程的方法 利用待定系数法求椭圆的标准方程: (1)先确定焦点位置.(2)设出方程.(3)寻求a,b,c的等量关系.(4)求a,b的值,代入所设方程.,特别提

7、醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴 上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2+ny2 =1(mn,m0,n0).,【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上,且a=4,c=2. (2)经过点A(0,2)和,【解析】(1)a2=16,c2=4,所以b2=16-4=12, 且焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为 =1.,(2)设所求椭圆的标准方程为 Mx2+Ny2=1(M0,N0,MN). 因为椭圆经过A(0,2)和 两点, 所以 解得 所以所求椭圆方程为x2+ =1.,类型二椭圆的定义及应用 【典例】(2016潍坊高二检测)设P是椭圆 =1 上一点,F1,F2

8、是椭圆的焦点,若F1PF2=60,求F1PF2 的面积.,【解题探究】(1)你能写出|PF1|+|PF2|与|F1F2|的大小吗? 提示:(1)根据椭圆的定义即可写出.,(2)在F1PF2中,怎样得到|F1F2|,|PF1|,|PF2|之间的关 系式? 提示:在F1PF2中,利用余弦定理可以得到|F1F2|, |PF1|,|PF2|之间的关系式.,【解析】由椭圆方程知,a2=25,b2= , 所以c2= ,所以c= ,2c=5. 在PF1F2中, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60, 即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|.,由椭圆的定

9、义得10=|PF1|+|PF2|, 即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|. -,得3|PF1|PF2|=75, 所以|PF1|PF2|=25, 所以 = |PF1|PF2|sin 60=,【延伸探究】1.将典例中的“F1PF2=60”改为“F1PF2=30”,其余条件不变,求F1PF2的面积.,【解析】由椭圆方程知,a2=25,b2= , 所以c2= ,所以c= ,2c=5. 在PF1F2中, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos30, 即25=|PF1|2+|PF2|2 |PF1|PF2|.,由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|,

10、 即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|. -,得(2+ )|PF1|PF2|=75, 所以|PF1|PF2|=75(2- ), 所以 = |PF1|PF2|sin 30= (2- ).,2.将典例中椭圆的方程改为“ =1”,其余条件 不变,求F1PF2的面积.,【解析】|PF1|+|PF2|=2a=20,又|F1F2|=2c=12.由余弦 定理知:(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60, 即144=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|. 所以|PF1|PF2|= , 所以 = |PF1|PF2|sin 60= .,【方法技巧

11、】椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.,【拓展延伸】椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的PF1F2,称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解.,【补偿训练】如图所示,已知椭圆的方程为 =1,若点P是椭圆上第二象限内的点,且PF1F2=120, 求PF1F2的面积.,【解题指南】由椭圆定义和余弦定

12、理可求得三角形边 长. 【解析】由已知a=2,b= ,所以c= =1, |F1F2|=2c=2,在PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2- 2|PF1|F1F2|cos 120,即|PF2|2=|PF1|2+4+ 2|PF1|.,由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|. 将代入解得|PF1|= . 所以 即PF1F2的面积是,类型三与椭圆有关的轨迹问题 【典例】1.(2016合肥高二检测)已知点M在椭圆 =1上,MP垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P,并且 M为线段PP的中点,则P点的轨迹方程为_. 2.一动圆与已知圆O1:(x

13、+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2 +y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.,【解题探究】1.典例1中动点P与哪个动点有关?本题可采用什么方法求动点P的轨迹方程? 提示:动点P与点M有关.因为点M在已知椭圆上运动,所以本题可采用代入法求动点P的轨迹方程.,2.典例2中两圆内切时能得到什么条件? 提示:两圆内切时,两圆的圆心距等于两圆的半径之差.,【解析】1.设点P的坐标为(x,y),M点的坐标为(x0,y0), 因为点M在椭圆 =1上,所以 =1. 因为M是线段PP的中点,所以 把 代入 =1,得 =1, 即x2+y2=36.,所以点P的轨迹方程为x2+y2=36. 答案:x2+

14、y2=36,2.两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1;O2(3,0), r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可 得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R, 所以|MO1|+|MO2|=10. 而|O1O2|=610,故由椭圆的定义知: M在以O1,O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3, 所以b2=a2-c2=25-9=16, 故动圆圆心的轨迹方程为 =1.,【方法技巧】解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法 (1)定义法: 用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可.,(2)相关点

15、法(代入法): 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法.,易错警示:求轨迹方程时注意求得的方程中的自变量的取值范围.,【变式训练】已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过点B且与圆A内切,如图,求圆心P的轨迹方程.,【解析】设|PB|=r.因为圆P与 圆A内切,圆A的半径为10, 所以两圆的圆心距|PA|=10-r, 即|PA|+|PB|=10,而|AB|=6, 所以|PA|+|PB|AB|, 所以圆心P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.,所以2a=10,2c=|AB|=6.所以a=5,c=3. 所以b2=a2-c2=25-9=16. 所以圆心P的轨迹方程为 =1.,【补偿训练】已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,求动点P的轨迹方程.,【解析】因为|F1F2|是|PF1|和|PF