人教A数学选修21同课异构教学课件232双曲线的简单几何性质2精讲优练课型

1、第2课时 双曲线方程及性质的应用,类型一直线与双曲线的位置关系 【典例】1.(2016烟台高二检测)双曲线 =1的 左、右焦点分别为F1,F2.给定四条直线:5x-3y=0; x-y-4=0;5x-3y-52=0;4x-3y+15=0.如果上述直 线上存在点P,使|PF2|=|PF1|+6,则满足这样条件的直 线对应的序号是.,2.(2016天津高二检测)已知双曲线C: (a0, b0)的离心率为 且过点( ,1). (1)求双曲线C的方程. (2)若直线l:y=kx+ 与双曲线C恒有两个不同的交点 A,B,求k的取值范围.,【解题探究】1.本例1中满足条件|PF2|-|PF1|=2a (2a

2、|F1F2|)的点P的轨迹是什么? 提示:满足条件|PF2|-|PF1|=2a的点P的轨迹为双曲线的左支.,2.本例2中直线l与双曲线C有两个公共点应满足什么条件? 提示:由直线l与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.,【解析】1.由 =1,知a2=9,b2=16,所以c2=25,c=5, 由双曲线的定义,双曲线上任意一点P满足 |PF2|-|PF1|=610. 当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时,说明直线与双 曲线的左支有公共点. 由已知双曲线的渐近线方程为y= x,对于两直线的斜率均为 ,故均与双曲线左 支无公共点,经验证表示的直线与双曲线左支有交 点. 答案:,2.(1)

3、由e= 可得 ,所以a2=3b2,故双曲线方程 可化为 ,将点P 代入双曲线C的方程,可 解得b2=1.所以双曲线C的方程为 -y2=1. (2)联立直线与双曲线方程 (1-3k2)x2-6 kx-9=0,由题意得 解得-1k1且k 所以k的取值范围为,【延伸探究】题2(2)中若直线l与双曲线C有且只有一 个公共点,k的取值范围如何? 【解析】联立直线与双曲线方程 消去y得:(1-3k2)x2-6 kx-9=0. 当1-3k2=0,即k= 时,直线l与双曲线C只有一个公 共点;,当1-3k20,=(6 k)2+36(1-3k2)=36-36k2, 由=0,即36-36k2=0,所以k=1时,直

4、线l与双曲线C只 有一个公共点. 所以当k= 或k=1时,直线l与双曲线C有且只有一 个公共点.,【方法技巧】直线与双曲线位置关系的处理方法 把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为一元二次方程,在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式. (1)0时,直线与双曲线有两个不同的公共点. (2)=0时,直线与双曲线只有一个公共点.,(3)0时,直线与双曲线没有公共点. 当二次项系数为0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点. 特别提醒:利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.,【变式训练】已知直线y=kx-1与双曲线4x2-y2=1

5、.当k为何值时,直线与双曲线有两个公共点?有一个公共点?没有公共点? 【解题指南】讨论直线与双曲线的位置关系问题,可以将问题转化为讨论直线与双曲线的方程组成方程组的解的个数问题.,【解析】由 消去y得 (4-k2)x2+2kx-2=0.(*) 若4-k2=0,即k=2时,方程(*)为一次方程,只有一解. 若4-k20时,=4k2+8(4-k2)=4(8-k2). 当0即-2 k2 时,方程(*)有两个不同的解. 当=0即k=2 时,方程(*)有一解.,当2 时,方程(*)无解. 综上所述:当-2 2 时,直线与双曲线没有 公共点.,类型二弦长及中点弦问题 【典例】1.(2016杭州高二检测)直

6、线l与双曲线 的同一支相交于A,B两点,线段AB的中点在直 线y=2x上,则直线AB的斜率为.,2.已知点A( ,0)和点B(- ,0),动点C到A,B两点的 距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y=x-2交于D,E 两点,求线段DE的长.,【解题探究】1.本例1中如何表示线段AB的中点坐标? 提示:设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为 2.本例2中若直线l:y=kx+b(k0)与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2),你能把弦|AB|的长表示出来吗? 提示:|AB|=,【解析】1.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为 y=kx+b, 由 消去y得:(1-2

7、k2)x2-4kbx-2b2-2=0. 因为l与双曲线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2), 故=8b2+8-16k20,1-2k20, 由根与系数的关系知:x1+x2=,则y1+y2=k(x1+x2)+2b= 因为线段AB的中点在直线y=2x上, 所以有 得k= ,满足式. 当直线l的斜率不存在时,不符合题意. 答案:,2.设点C(x,y),则|CA|-|CB|=2,根据双曲线的定义, 可知点C的轨迹是双曲线 由2a=2,2c=|AB|=2 ,得a2=1,b2=2, 故点C的轨迹方程是x2- =1. 由 消去y并整理得x2+4x-6=0, 因为0,所以直线与双曲线有两个交点,

8、设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6, 故|DE|=,【延伸探究】 1.典例1中改为若斜率为2的直线l与双曲线 -y2=1相 交时,求其弦中点的轨迹方程.,【解析】设直线l与双曲线 -y2=1相交于 A(x1,y1),B(x2,y2),中点为P(x,y),则 两式作差得: -(y1+y2)(y1-y2)=0, 即x-2ykAB=0. 又kAB=2,所以x-4y=0, 故其弦中点的轨迹方程为x-4y=0.,2.典例1中若双曲线方程不变,问过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点.,【解析】显然斜率存在.设所求直线方程为y

9、=k(x-1)+1, 由 得(1-2k2)x2+(4k2-4k)x-2k2+4k-4=0. 因为l与双曲线相交于A,B两点, 所以=(4k2-4k)2-4(1-2k2)(-2k2+4k-4)0, 得-1- k-1+ ,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,有 x1+x2= .若点P是线段AB的中点,则有x1+x2=2, 即 =2,解得k= ,所以这样的直线存在, 为x-2y+1=0.,【方法技巧】 1.求弦长的两种方法 (1)距离公式法:当弦的两端点坐标易求时,可直接求出交点坐标,再利用两点间距离公式求弦长.,(2)弦长公式法:当弦的两端点坐标不易求时,可利用弦 长公式求解,

10、即若直线l:y=kx+b(k0)与双曲线C: =1(a0,b0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB|= |x1-x2|= |y1-y2|.,2.中点弦问题 与弦中点有关的问题主要用点差法,根与系数的关系解决.另外,要注意灵活转化,如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决. 特别提醒:若直线方程涉及斜率,要注意讨论斜率不存在的情况.,【拓展延伸】点差法 若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点M(x0,y0)的坐标和斜率有关的关系式,可以大大减少运算量.我们称这种

11、代点作差的方法为“点差法”.,【补偿训练】斜率为2的直线l在双曲线 =1上截 得的弦长为 ,求l的方程. 【解题指南】设直线l的方程为y=2x+m,由题意建立关 于m的等式,求出m即可.,【解析】设直线l的方程为y=2x+m, 由 得10 x2+12mx+3(m2+2)=0.(*) 设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由根与系数的关系, 得x1+x2=- m,x1x2= (m2+2).,所以|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2 =5(x1+x2)2-4x1x2 因为|AB|= ,所以 m2-6(m2+2)=6. 所以m2=15,m= .

12、由(*)式得=24m2-240,把m= 代入上式,得0, 所以m的值为 , 所以所求l的方程为y=2x .,类型三双曲线性质的综合应用 角度1:渐近线的应用 【典例】(2015重庆高考)双曲线 (a0,b0) 的右焦点为F,左、右顶点为A1,A2,过F作A1A2的垂线与 双曲线交于B,C两点,若A1BA2C,则该双曲线的渐近线 斜率为(),【解题探究】本例中的条件A1BA2C如何利用? 提示:可据题意分别表示出A1,B,A2,C的坐标,然后转化 为 =0求解.,【解析】选C.由题意知F(c,0),A1(-a,0),A2(a,0),其 中c= 联立 可解得 所以 又因为A1BA2C,所以 =(c

13、+a)(c-a)- =0,解得a=b, 所以该双曲线的渐近线斜率为1.,角度2:离心率的取值范围 【典例】已知双曲线 (a0,b0)的左、右焦点 分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在点P使 ,则该双曲线的离心率的取值范围 是.,【解题探究】本例中如何转化条件 ,怎样 建立关于离心率e的不等关系? 提示:借助三角形的正弦定理实现边与角的转化.借助 焦半径的有界性建立关于离心率e的不等关系.,【解析】不妨设P为双曲线右支上一点,由正弦定理可 得 ，所以 故 而 ,即 e-1, 所以- +11,所以1e +1. 答案:(1, +1),角度3:由直线与双曲线相交求参数的范围(值) 【

14、典例】已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为 (2,0),右顶点为( ,0). (1)求双曲线C的方程. (2)若直线l:y=kx+ 与双曲线C恒有两个不同的交点A 和B,且 2(其中O为原点),求k的取值范围.,【解题探究】本例中如何转化条件“ 2”,条件 “l:y=kx+ 与双曲线C恒有两个不同的交点”隐含着 什么? 提示:通过数量积的定义实现条件“ 2”的转化, 条件“l:y=kx+ 与双曲线C恒有两个不同的交点”隐 含着消元后方程为一元二次方程且判别式大于0.,【解析】(1)设双曲线方程为 (a0,b0),由已 知得a= ,c=2,所以b=1.故所求双曲线方程为 (2)将y=kx+ 代

15、入 ,可得(1-3k2)x2-6 kx- 9=0,由直线l与双曲线交于不同的两点得,故k2 且k22得x1x2+y1y22. 又因为y1y2=(kx1+ )(kx2+ )=k2x1x2+ k(x1+x2)+2,所以 .所以 又因为k2 且k21,所以 k21. 所以k的取值范围为,【方法技巧】与双曲线有关的综合问题 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质,与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.,(1)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系,转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解. (2)当与直线有关

16、时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解.,【变式训练】1.(2015湖北高考)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则() A.对任意的a,b,e1e2 B.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2,【解析】选D.不妨设双曲线C1的焦点在x轴上,即其方 程为 ,则双曲线C2的方程为,2.(2016吉林高二检测)若直线y=kx+2与双曲线 x2-y2=6的右支交于不同的两点,那么k的取值范围是(),【解题指南】联立方程组，转化成一元二次方程有两个正根的问题.,

17、【解析】选D.联立 得(1-k2)x2-4kx-10=0, 由题意得 即 解得- k-1.,3.已知双曲线的中心为坐标原点,右顶点为A(1,0),点P 在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1.若直 线AP的斜率为k,且|k| ,求实数m的取值范围.,【解析】由条件得直线AP的方程为y=k(x-1), 即kx-y-k=0. 因为点M到直线AP的距离为1,即,所以实数m的取值范围是,自我纠错利用直线与双曲线的位置关系求参数 【典例】已知双曲线x2- =1,过点P(1,1)的直线l与 双曲线只有一个公共点,则直线l的斜率k的值为_.,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因在于忽视了