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平均变化率 数学 平均 变化

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江苏省淮安中学高二数学学案 教学目标 1.通过对实例分析,理解平均变化率的实际意义与数学意义； 2.掌握平均变化率在实际生活中的运用以及在函数中的运用; 3.理解平均变化率的意义,初步了解“以直代曲”的数学思想,为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 教学重点 平均变化率的实际意义与数学意义 教学难点 1.平均变化率的实际意义与数学意义; 2.了解“以直代曲”的数学思想, 为后续学习打好基础. 教学过程 一、创设情境 [情境一] 根据条件,观看乐园过山车的视频录像,让学生谈谈乘过山车的亲身体会 师生互动: ① 乘过山车时,什么情形下会感到刺激、惊险？ ② 乘坐时,又在什么情形下不会感到害怕？ 分析：在陡峭的轨道上过山车运动的速度变化快,在平缓的轨道上过山车运动的速度变化慢. [情境二] 某市2004年4月20日最高气温为,而此前的两天,4月19日和4月18日最高气温分别为和,短短两天时间,气温“陡增”,闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是,如果我们将该市2004年3月18日最高气温与4月18日最高气温 进行比较,我们发现两者温差为,甚至超过了.而人们却不会发出上述感叹. 分析:如何量化陡峭的程度? 二、新课讲授 平均变化率的概念及几何意义 1.平均变化率 一般地,函数f(x)在区间上的平均变化率为. 2.学生活动(1)连结AB,计算气温在区间[1,32]上的平均变化率为 (2)结合对气温曲线图的数与形分析,比较区间[1,32]上的平均变化率0.5和[32,34]上的平均变化率7.4,感知平均变化率量化曲线的陡峭程度. 3.平均变化率几何意义 77 三、例题讲解 例1．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图(见课本图3-1-2)所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 例2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如图见课本图3-1-3所示),后容器甲中水的体积(单位),计算第一个内的平均变化率. 例3. 已知函数,分别计算在下列区间上的平均变化率: (1) [1,3]; (2) [1,2]; (3) [1,1.1]; (4) [1,1.001]. 例4. 已知函数分别计算在区间上及 的平均变化率. 四、巩固练习 1. 课本练习 2. 求函数在区间上的平均变化率并指出几何意义. 3.已知函数在区间上的平均变化率为,求函数在区间 上的平均变化率. 五、课堂小结 1.一般地,函数f(x)在区间上的平均变化率为 2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. 3. 平均变化率的几何意义. 78 学生作业 班级 学号 姓名 1. 函数的图象如图所示,在图中作线段表示： （1）； （2）； （3）； （4）. 2. 已知函数的图象上一点及邻近的一点, 则等于 . 3. 如果质点按规律运动,则在一小段时间中的平均速度是 . 4. 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳的时间(单位:) 的函数关系式则正确的有 . （1） （2） （3） （4）运动员在这段时间内处于静止状态. 5. 若函数在区间上的平均变化率为3,则等于 . 6. 函数在上的平均变化率为,在上的平均变化率 为,则大小关系为 . 7.已知在家庭装修完工后的天内,甲醛的剩余量(单位:)为,设在区间上的平均变化率为,则一定是 . （1）递减等差数列 （2）递减等比数列 （3）递增等差数列 （4）递增等比数列 8. 函数在的平均变化率为 . 79 9.一种粮食的价格(单位:元/千克)与时间(单位:年)的函数关系式,则 (填写“>”,“<”,“=”). 10． 已知自由落体运动的方程为. 求:(1) 落体在到这段时间内的平均速度; (2) 落体在到这段时间的平均速度. 11.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为其中为体温 （单位：℃）,t为太阳落山后的时间（单位：min）. (1)从t=0到t=10min,蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t=0到t=10min,蜥蜴的体温的平均变化率是多少？ 80 21课时 3.1.2瞬时变化率——导数（1） 教学目标 1.了解曲线的切线的概念,会求一具体曲线在一点处的切线的斜率与切线方程 ; 2.了解平均速度、 瞬时速度与瞬时加速度的概念,会求某一时刻的瞬时速度与瞬时加速度. 教学重点1.理解曲线在一点处的切线的定义,以及曲线在一点处的切线的斜率的定义; 2.正确理解瞬时速度与瞬时加速度的概念. 教学难点 1.割线逼近切线的思想方法;2.光滑曲线的切线斜率、瞬时速度是导数概念的实际背景． 教学过程 一、问题情境 （1）将曲线上一点附近的曲线放大再放大,想象会有什么结果？ （2）光线射到曲线上一点,如何反射？ （3）圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线 二、讲解新课： １．曲线的割线与切线 如图,设曲线是函数的图象,点是曲线 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT, 叫做曲线在点P 处的切线 2.确定曲线在点处的切线斜率的方法 设割线PQ的倾斜角为,切线PT的倾斜角为,既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线,所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即 tan= 3.瞬时速度与瞬时加速度 81 三、讲解例题 例1曲线的方程为y=x2+1,那么求此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率,以及切线的方程. 解：k= ∴切线的斜率为2,切线的方程为y=2x. 例2.质点M按规律作直线运动.若质点M在时的瞬时速度为,求常数的值. 例3.设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设时的速度为.求时轿车的加速度. 四、巩固练习 1. 课本练习. 2. 求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1,4)处的切线方程. 五、课堂小结 82 学生作业 班级 学号 姓名 1.已知则曲线在点处的切 线斜率等于 . 2. 若质点的运动方程为(位移单位:,时间单位:)则当时,质点的平均速度为 . 3. 曲线在点处的切线方程是 . 4. 曲线在点处的切线方程是 . 5. 已知曲线在点处的切线过点则切点的坐标是 . 6.一物体运动方程为,则物体运动的初速度为 . 7.质点按运动,则在一小段时间[2,2.1]中的平均速度是 . 8.质点按运动,则在时的瞬时速度为 . 9.已知曲线:在点处的切线斜率是,那么曲线在点处的切线方程是 . 10.求曲线上一点处的切线的倾斜角. 83 11.一架航天飞机在发射后的一段时间内,上升的高度(单位:)与时间(单位:)的函数关系式为.(1)h(0)、h(1)分别表示什么?(2)求第1s内的平均速度. (3)求第1s末的瞬时速度.(4)经过多少时间航天飞机的速度达到75m／s? 12.在抛物线上哪一点处的切线平行于直线哪一点处切线垂直于 这条直线? 84 22课时 3.1.2瞬时变化率——导数（2） 教学目标1.使学生在了解割线逼近切线与瞬时速度的基础上抽象出瞬时变化率, 建立导数的概念; 2.掌握用导数的定义求函数导数的一般方法. 教学重点 运用割线逼近切线的思想与瞬时速度抽象出瞬时变化率,在此基础上 建立导数的概念; 教学难点 导数的概念的建立; 教学过程 一、复习回顾 平均变化率、曲线上一点处的切线斜率、瞬时速度与瞬时加速度 二、课前检测 1.函数的图象在点处切线的方程为 . 2.已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比例.若车轮启动后转动第一圈所用的时间为,则转动开始后的第角速度为 . 3.在高台跳水运动中,时运动员相对于水面的高度是,则运动员在的瞬时速度、瞬时加速度分别是 、 . 三、讲授新课 瞬时变化率——导数的概念 (1) 函数在某点处的可导 (2)函数在某点处的导数 (3)函数在某区间上的导数 (4)导数的物理意义与几何意义 85 三、例题讲解 例1.已知函数.(1)求在处的导数；(2)求在处的导数. 例2.已知函数、分别是奇函数、偶函数,且函数在 处的导数为,求的图象在的切线的倾斜角. 例3.求函数在处的导数,并求. 例4.(边际函数问题)设成本函数为每天生产的产品数. (1)若每天生产产品数有1000件改为1001件,成本的绝对增加值是多少? (2)处的边际成本是多少? . 四、课堂小结 86 学生作业 班级 学号 姓名 1. 已知,则的值为 . 2.已知函数在点处的切线方程为则等于 . 3. 一质点从坐标原点出发沿轴运动,若距原点的距离为时,时间为,且、满足则当时,质点的平均速度为 ,当时,质点的瞬时速度为 ,当,质点的平均加速度为 ,当时,质点的瞬时加速度为 . 4.一质点的运动方程是的单位:,的单位:),且在时的速度为3,则在时质点的速度为 . 5.若函数的图象在点处的切线方程为 则等于 . 6.若函数,则 . 7.已知函数, 求与. 87 8. 求曲线在点处的切线斜率,并写出直线方程. 9.当无限趋近于时,,无限趋近于多少? 呢? 10.生产某塑料管的利润函数为,其中为工厂每月生产该塑料管的根数,利润的单位为元. (1)求边际利润函数 (2)求使的值; (3)解释(2)中的值的实际意义. 88 23课时 3.2.1常见函数的导数 教学目标 1.能根据定义求简单函数的导数,加深对导数概念的理解,体会算法思想; 2.能利用导数公式表求简单函数的导数; 3.体会建立数学理论的过程,感受学习数学的方法,发展思维能力. 教学重点 能利用导数公式求简单函数的导数 教学难点 体会数学理论的建立过程,感受学习与研究的数学的一般方法,发展思维能力. 教学过程 一、复习回顾 导数的概念及求导数的步骤（可用流程图表示） 二、新课讲授 根据流程图求下列函数的导数： 1． 2． 3． 4．结论 简单函数求导公式 1 2 （C为常数） 3 4 5 由公式3,4,5推出 （为常数）. 5．基本初等函数求导公式（见书本69-70页）只要求记结论,推导过程不作要求. 89 三、讲解例题 例1.利用定义求下列函数的导数. (1) (2) 例2.已知,求. 四、巩固练习 1 .用定义求导数.(1) (2) 2.已知,求的值. 3.处理课本练习. 五、课堂小结 90 学生作业 班级 学号 姓名 1．曲线在处切线的斜率为 . 2．曲线在处的导数为,则等于 . 3．函数的导函数等于 . 4. 函数在处的导数等于 . 5．函数在处的导数为 . 6. 若函数,则= . 7．函数的导函数= . 8．函数在处的导数 . 9. 函数在处的导数 . 10.函数的导函数= . 11.曲线在处的切线斜率为,则 . 12.求曲线在点处的切线方程. 91 13. 利用公式求下列函数的导数. (1) (2) (3) (4) 14.求曲线在处的切线方程. 92 24课时 3.2.2函数的和、差、积、商的导数 教学目标 1.进一步掌握常见函数的求导公式; 2.能利用导数公式表及四则运算法则求简单函数的导数; 3.体会数学理论的建立过程,感受数学学习和研究的方法,发展思维能力. 教学重点 利用导数公式表及四则运算法则求简单函数的导数 教学难点 体会数学理论的建立过程,发展思维能力. 教学过程 一、复习回顾 1. 函数的求导公式; 2.已知、,怎样求 ? 二、新课讲授 1.新课导入 利用求导定义求的导数. 2.结论: 即两个函数的和的导数,等于这两个函数的导数的和. 类似地,也可以得到函数的差、积、商的求导法则(推导过程不要求掌握). 3.导数的四则运算法则 93 三、讲解例题 例1.求下列函数的导数. (1). (2) 例2.求下列函数的导数: (1) (2) 四、巩固练习 课本练习 五、课堂小结; 94 学生作业 班级 学号 姓名 1．求下列函数的导数: (1) (2); (3) (4). （5）； （6） 3. 求曲线在处的切线方程. 4. 已知函数 (1)求,使 (2)解释(1)中及的意义. 95 5. 设求及 (1) (2) 6.质点的运动方程是 (1)求时的速度; (2)求质点运动的加速度. 7.火车开出车站一段时间内,速度与行驶时间之间的关系是 （1）求火车运动的加速度； （2）第几秒钟时加速度为 （3）时,火车开过的路程是多少？ 附加题.设曲线,直线及围成的封闭图形的面积为,求. 96

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