有理数知识总结有用

1、.冀教版有理数复习一、学习目标：理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。二、重点难点：有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算；有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。三、学习策略：先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达到内容系统化和应用的灵活性。四、知识框架：五、知

2、识梳理1、知识点一：有理数的概念（一）有理数：（ 1）整数与分数统称 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _按定义分类：有理数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.按符号分类：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _有理数零_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _注：正数和零统称为_ ；负数和零统称为_正整数和零统称为_；负整数和零统称为_.（ 2）认识正数与负数：正数：像1， 1.1， 17 ， 2008 等大于 _的数，叫做 _.5负数：像 -1，-1.1， - 17 ， -2008 等在正数前面加上 “ ”（读作负）号的数，叫_注意 ：5_都大于零， _

3、都小于零 . “ 0即”不是 _，也不是 _.（ 3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其_意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其_意义的量 .如：若-5 米表示向东走5 米，则 +3 米表示向 _走 3 米； 若 +6 米表示上升 6 米，则 -2 米表示 _ ； + 7o C 表示零上 7o C ， - 7oC 则表示_ .（ 4）有理数 “0”作用：的作用举例表示数的性质0 是自然数、是有理数、是整数表示没有3 个苹果用 +3 表示，没有苹果用0 表示表示某种状态00C 表示冰点表 示 正 数 与负 数 的0 非正非负，是一个中性数界点（二）

4、数轴.（ 1）概念：规定了 _ 、_ 和_ 的直线注： _、 _、 _称为数轴的三要素，三者缺一不可.单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.（ 2）数轴的画法及常见错误分析画一条水平的 _；在这条直线上适当位置取一实心点作为_：确定向右的方向为 _ ，用 _表示；选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致 .数轴画法的常见错误举例：错例原因不统一没有（ 3）有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的表示出来

5、 .在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数，正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数.注意 ：数轴上的点不都是有理数，如.（三）相反数（ 1 ）相反数：只有的两个数互称为相反数特别地，0 的相反数是；若a与b互为相反数 ，则 ab_ _ _ ，反之亦然.（ 2）相反数的性质：代数意义：只有的两个数叫做互为相反数，特别地，O 的相反数是0相反数必须出现，不能单独存在例如+5 和互为相反数，或者说+5 是的相反数， 5是的相反数，而单独的一个数不能说是另外，定义中的“只有 ”指除以外，两个数，注意应与 “只要符号不同”区分开例如+3 与 3 互为相反数，而+3 与 2 虽然不同，但它们

6、不是相反数几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，并且到原点的_相等这两点是关于 _对称的求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可一般地，数a 的相反数是；这里以 a 表示任意一个数，可以为、负数，也可以是任意一个代数式注意a 不一定是注意： 当 a 0 时， a0(正数的相反数是数 )；当 a=0 时， aO(0 的相反数是)；当 a0 时，aO ( 负数的相反数是)互为相反数的两个数的和为，即若 a与 b 互为，则 a+b=0，反之，若 a+b=O，则 a 与 b 互为多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部；一个正数前面有个“”号，也可以把“ ”号全部

7、去掉；一个正数前面有个 “ ”号，则化简后只保留一个“”号，即“负正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的， “负正 ”是指化简的最后结果的.（四）绝对值（ 1）绝对值的代数意义及几何意义 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0 的绝对值是. 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的与 _的距离 .数 a.的绝对值记作.注意：取绝对值也是一种，这个符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质绝对值符号 .绝对值具有性，取绝对值的结果总是.任何一个有理数都是由部分组成：和它的，如： 5 ，符号是，绝对值是.（ 2）字母 a 的绝对值的分类_ _,(

8、 ao)0)_ _ _ ,( a0)a_ _ _,( a_ _ _,( a 0) 或 a0)或 a0)_ _,( a_ _ _,( a_ _ _,( a0)（ 3）利用绝对值比较两个负有理数的大小规则：两个负数，绝对值大的反而.步骤：计算两个负数的.比较这两个的大小 .写出正确的判断结果.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为.例如：若abc0,则a_,b_,c_2、知识点二：有理数运算（一）有理数比较大小（ 1）数轴上的数，右边的数总左边的数（ 2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（ 3）两个负数，绝对值大的反而；（ 4）两数比较大小，可按符号情况分类：.同正：大的数大两数

9、同号大的反而小同负：比较大小 两数异号（一正一负）：_大于_正数与0：_大于0其中有0时负数与0：_小于0（二）有理数的加减法（ 1）有理数加法法则同号两数相加，取相同的，并把绝对值.绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号， 并用较大的减去较小的.一个数同0 相加，仍得.（ 2）有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定和的；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的.（ 3）有理数加法的运算律两个加数相加，交换加数的位置，不变 .即 a+b=b+a(加法律 )三个数相加， 先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，不变 .即 (a+b)+c=

10、a+(b+c)（加法律）（ 4）有理数加法的运算技巧分数与小数均有时，应先化为形式 .带分数可分为与两部分参与运算.多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合得若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合.若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.相同的数可以先结合在一起.（ 5）有理数减法法则.减去一个数，等于，即 a-b=a+()（ 6）有理数减法的运算步骤把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.（ 7）有理数加减混合运算的步骤把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意

11、：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有的运算，即变为求几个正数，负数和0 的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（ +3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11 ，它的含义是正3，负 0.15，负 9，正 5，负 11 的和。（三）有理数的乘除法（ 1）有理数乘法法则两数相乘，同号得，异号得，并把相乘 .任何数同相乘，都得0.（ 2）有理数乘法的运算律两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即 ab=（乘法结合律）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把

12、后两个数相乘，积相等.即 abc=（乘法结合律）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 即 a(b+c)=（乘法分配律）（ 3）有理数乘法法则的推广几个不等于0 的数相乘，积的符号由的个数决定，当的个数是偶数时，积为；.的个数是奇数时，积为.几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为.在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.（ 4 ） 有 理 数 除 法 法 则 ： 除 以 一 个 不 等 于0的 数 ， 等 于 乘 这 个 数 的。 即ab=a (b 0)两数相除，同号得，

13、异号得，并把绝对值，除以任何一个不等于 0 的数，都得0.（ 5）倒数及有理数除法乘积为的两个数互为倒数。倒数是出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定；没 有 倒 数 ； 求 一 个 非 零 有 理 数 的 倒 数 ， 只 要 把 它 的 分 子 和 分 母即可（正整数可以看作分母为1 的分数）。注意：a,b 互为倒数，则ab_ ； a,b 互为负倒数，则ab_ 。反之亦然 .有理数除法的运算步骤：首先确定商的，然后再求出商的绝对值.（四）有理数的乘方（ 1）概念：求 n 个相同因数的积的运算，叫做，的结果叫做，在 an 中， a 叫做， n 叫做.（ 2）含义：an 中，

14、 a 为底数， n 为指数，即表示a 的个数， an 表示有相乘 .例如： 35 表示 33333， (-3) 5 表示（ -3） （-3） （ -3） （ -3）（ -3），特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号. 如 (-2) 7 表示相乘，而 -2 7 则表示 7 个 2 相乘的积的。当 n 为奇数时， (-a) n =；而当 n 为偶数时， (-a) n =.注意：负数的奇次幂是，负数的幂是正数。正数的任何次幂都是， 0 的任何次幂都是，任何不为0 的数的0 次幂都.是.（ 3） “奇负偶正 ”口诀的应用口诀 “奇负偶正 ”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：多重负号的

15、化简，这里奇偶指的是“ ”号的个数，例如： （ 3）=， +（3） =.有理数乘法， 当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（ 3） （ 2） （ 6） =，而（ 3） （ 2） 6=.有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为；指数为偶数，则幂为，例如：（ 3） 2 =，（ 3） 3 =.（ 4）有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进

16、行；不同级运算，应先算级运算，然后级，最后级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算 _括号里的，再算括号里的，最后算括号里的 . 以上运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”.六、经典例题1、类型一：正数与负数的意义例 1一个物体沿着东西两个相反方向运动，如果把向东的方向规定为正，那么走6km ，走 -4.5km ，走 0km 的意义各是什么？思路点拨：正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向东运动，则负数表示运动.0表示原地不动，0 表示正数与的分界，在实际问题中也有确定的意义.解析：总结：. 一反三：【 式 1】博然的父母 6 月份共收

17、入4800 元，可以将 笔收入 作+4800 元；由于天气炎 ，博然家用其中的 1600 元 了一台空 ，又 怎 笔支出呢?解析：【 式 2】某老 把某一小 五名同学的成 ：10、 5、 0、 8、 3，又知 0 的 成 表示 90 分，正数表示超 90 分， 五位同学的平均成 多少分？解析 ：2、 型二：有理数的分 例 2 把下列各数填入相 的括号内：15+6， 0.35， -1， -7.82，0， 97， 2 .46整数集合：；非 集合：；分数集合：； 数集合： .思路点 ： 根据有理数的分 准，将所 数 行分 填整数集合 ，不能漏掉“”；填集合 ，最后要加“”， “非 数 ”不要 理解

18、正数，既不是正数，也不是 数，属于“非 ”范 内的数； 数包括和.解析： 一反三：【 式】 （ 1 ）最小的正整数是：最大的 整数是；最小的整数是；最小的正数是；最大的 数是；最小的有理数； 最小的有理数是。（ 2）一个数的相反数等于它本身， 个数是；一个数的 等于它本身， 个数是；一个数的 等于它的相反数， 个数是；一个数的倒数等于它本身， 个数是；一个数的平方等于它本身， 个数是；一个数的平方等于它的 ， 个数是；一个数的平方等于它的相反数， 个数是；一个数的立方等于它本身， 个数是。.解析：3、 型三：多重符号的化 例 3、化 下列各数：(1) ( 3 1 )(2)(4 1 )(3) (

19、 5)(4) ( 2)25思路点 ： 多重符号的化 是由“”的个数来定，若“-”个数是个 ，化 果 正；若 “-”个数是奇数个 ，化 果 。解析： 一反三：【 式 1】 4)_ (5【 式 2】 出下列各式的意 ，然后化 ：(1)-(-3)(2)+-(+5)；(3)- -(-6)（共 n 个 号）4、 型四：有理数的大小比 例 4 在数 上画出表示下列各数的点，并用“ ”接起来；3 1 , 4 ,1 1 ,2 1 , 0 ,1 1 ,23224思路点 ：首先画出数 ，三要素要 全；再把各数在数 上的 点找出来；然后根据 些数在数 上的位置 序比 大小，再用“ ”接起来 .解析： 一反三：【 式

20、】利用 比 下列有理数的大小用、号 接.（ 1） -0.6， -60（ 2）2 , 3 , 4345思路点 ：比 数的大小，先求出各数的，关 是比 的大小， 大的反而，比 分数大小，一般要化成同的分数来比 .解析5、 型五： 的概念.例 5 若 a 3 +|2b+5|=0, 计算 2a-b 的值 .思路点拨 ：从表面看条件比较复杂，但根据绝对值的非负性，可求出a,b 值。解析：举一反三：【变式 1】若 ab ，化简：ba1ab5_.解析：【变式 2】代数式 | x2 | x3| 的最小值为。解析 ：【变式 3】 a， b 在数轴上的位置如图（ 1）化简： | a b |_| b1|_ 。（ 2

21、）比较大小： a10 ； abab 。解析：5、类型六：相反数，倒数的概念例 6 已知 a、 b 互为倒数， c、d 互为相反数， e0 且 | e| 1，那么 ( ab)2009(c d ) 2008e2007的值为。思路点拨 ：根据相反数与倒数的意义可得：互为相反数的两数的和为，互为倒数的两数之积为.举一反三： 【变式】已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1， a+b，a 的形式，又可表示为0， b ，ba的形式，且 x 的绝对值为2，求 (a b)2008(ab) 2009(ab ab) x2 的值解析 ：.7、类型七：有理数的混合运算例 7、计算 1 54 152(1 ) 23(7 )1624168思路点拨 ：本题有五种运算，因为有括号，应先算括号里面的，括号里面显然又要先算_，接着算 _ 法，再算 _ 法注意除法运算，要把除法转化为_解：总结升华：举一反三：【变式】计算下列各式的值：（ 1） 3 32( 3)213；3（ 2） 11 11 11 1 1；2345（ 3） (5 21170.25832 2；)18199()2714