浙师大高数C卷试题2015年1月

1、.浙江师范大学高等数学C（一）试卷（ C 卷）考试类别：闭卷使用学生：高数C 2014 级考试时间：120 分钟出卷时间： 2014年 12 月 20 日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理一、选择题 （每小题 2 分，共 12 分） CDAC BA1设函数 f ( x)sin x ， f ( ( x) 1 x2，则( x) 的定义域为()A 1,1B 2, 2C 2, 2D 2, 2设4x23，若，则（a， b）=()f ( x)axlimf ( x)2b0x 1xA (4， 4)B ( 4，4)C (4，4)D ( 4， 4)3.当 x0 时，与 (sin 2x) 2 等价

2、的无穷小量是 ()A 4xB 2x2C 2xD 4 x24设 f (x) 二阶可导，且 f(a)0, f( a)0 ，则 xa 是 f ( x) 的 ()A 最大值点B最小值点C极大值点D极小值点5.函数 f ( x)exe x 在区间 (1,1)内 ()A 单调增加B 有增有减C不增不减D单调减少6.bcos( x)sin3 xd x （）bA 0B 1 sin4 bC 1 sin4 bD.1 sin4 b242二、填空题 （每小题 3 分，共 18 分） 0 1 yexy xy1 d x 16 (, 2) 1 sin 2 x C2e1xe32ln(1 2x)sin41 lim3x 0 5x

3、7x2设函数曲线 yax2 与 y ln x 相切 ，则 a3设方程 exyxy 确定函数 yf (x) ，则微分 dy4设 ylnx1)14x2，则 y (455函数 f ( x)(x2) 3 的凸区间为;.6. 设 sin x 为 f ( x) 的一个原函数，则f ( x)sin x d x =三、计算题( 每小题 8 分，共 48 分 )11求极限 lim(1x) x x1ln(1x)ln(1x)lim1【解】 lim(1x) xlim elime01 .xexxex1xxx2设 y(sinx) f (cos x) ， 其中 f (u)为可导函数 ， 求 y ( x)【解】 ln yf

4、(cos x)lnsinx ，两边对 x 求导，得ysin xf(cos x)ln sin xcot xf (cos x)y因此y ( x)(sin x) f (cos x )sin xf (cos x) ln sin xcot xf (cos x)xf ( t),其中 f (t) 可导且 f(0)0 ， 求 dyt 0 3.设f (e3ty1),dxdydy3e3tf (e3t1)【解】dt3 。dx t 0dxf (t)t 0dtt 04. 利用变换 td2 y2(1x )dy6 y3x(x0) 化成以t为自变量的方程。x 将 4xdxedx 2【解】d 2 ydx2dydydt1dy1

5、dydxdtdx2 xdt2tdt1 (1 dt dy 1 d 2 y dt )1 (1 dy1 d 2 y )2t2dx dttdt 2dx22t 3 dt2t 2 dt 2代入原方程211 dy1 d 2 y1 dy3t4t2(2t 3dt2t 2dt 2)2(1 t )2t dt6y e化简得d 2 ydy6ye3tdt 2dt5 求ln1d x1d x .3x2ln x【解】dxxxd(1xdxln xln x)(ln x)2ln xln xxxdxln xln 2x23 xln因此，原式x112( ln xln 2 x ) c;.求4x6.d x0 1 x x【解】 令 x t 2

6、，则22t 222 d (1 t 3 )2ln( 1 t324原式3dt01 t 33) 0ln 30 1 t33四、应用题 (每小题 8 分，共16 分 )1. 设曲线 yx3ax2bxc 有拐点 (1,1) ，且在 x0处有最大值1，试求 a, b, c 【解】 y 3x22axb ， y 6x2a。因为 (1,1) 是函数的拐点，故 y x 162a0 且11abc ，故 a 3且 bc1 。而函数在 x 0处有最大值，故y x00，故b0 。从而，c1 。2. 已知抛物线 x y2 上有两点 A(4, 2) 和 B(1, 1) ， 在弧段 AB 上求一点 P( x, y) ，使得三角形 ABP 的面积最大【解】设抛物线上与直线AB 平行的切线的切点为P ( x , y ) 。由于三角111形的底边 AB 不变，所以当点PP1 时，三角形ABP 的面积最大。而 直线AB 的斜率为 kAB411 ，故 2 y1112(1)1 ，即 y1，从而 x1。2411因此，所求点为 P( ,) 。42五、（ 6 分） 证明等式 2arctan xarcsin2x( x1) 1 x2【证】设 f ( x)2arctan xarcsin2x，则1 x2f (1) 2arctan1arcsin1，且f (x)212(1x2 ) 2 x 2 x1 x21 (