4.5三角函数性质与图像

1、4.5三角函数的图象,高效梳理 课前必读知识备考,三角函数的图象,振幅周期频率相位等相关概念,对称性,图象变换函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象可由函数y=sinx的图象作如下变换得到:(1)相位变换:y=sinxy=sin(x+ ),把y=sinx的图象上所有的点向左( 0)或向右( 1)到原来的倍（纵坐标不变）,(3)振幅变换:y=sin(x+ )y=Asin(x+ ),把y=sin(x+ )的图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变).,函数y=Asin(x+ )(A0,0)的图象的作法,(2)用“变换法”作图由函数y=sinx的图象通过变换得到y=

2、Asin(x+ )的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,方法一:先平移后伸缩,方法二:先伸缩后平移,(3)当进行两个异名三角函数的图象变换时,应先用诱导公式化为同名函数,另外要注意由哪一个函数的图象变换到哪一个图象,不能弄错平移的方向.,考点自测 课前热身基础备考,答案:A,答案:B,答案:A,A.B.C.D.,解析:由图可知,该函数是偶函数,且函数值非负,故应为y=|tanx|;图为y=tanx的图象;图为偶函数图象,该函数应为y=tan|x|;图中函数图象与y=tanx的图象关于y轴对称,应为y=tan(-x)的图象.故顺序为.,答案:B,5给出下列六种变换： 图象

3、上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ； 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； 图象向右平移 个单位长度； 图象向左平移 个单位长度； 图象向右平移 个单位长度； 图象向左平移 个单位长度,请用上述变换中的两种变换，将函数ysinx的图象变换到ysin 的图象，那么这两种变换正确的标号是_(要求按变换的先后顺序填上你认为正确的一组即可),(或),解析：将ysinx的图象向左平移 个单位长度得ysin(x )的图象；使图象上所有点的纵坐标不变，再将横坐标伸长到原来的2倍即得ysin( )的图象，故满足或先将ysinx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得ysin

4、的图象，再将ysin 的图象向左平移 个单位长度得ysin (x )，即ysin( )的图象故也满足,题型突破 互动探究方法备考,题型一 y=Asin(x+ )+k型的三角函数图象变换,【例1】已知函数f(x)sin(2x )acos(2x )，其中a， 为正常数且0 .若f(x)的图象关于直线x 对称，f(x)的最大值为2. (1)求a和 的值； (2)求f(x)的振幅、周期和初相； (3)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (4)由yf(x)的图象经过怎样的平移得到y2sin(2x )的图象？,(3)列表，并描点画出图象(如图所示).,规律方法:作函数y=Asin(x+ )的

5、图象常用的方法有五点作图法和图象变换法.“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点).在用变换法作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移在题目中也经常出现,所以也必须熟练掌握.无论先进行哪种变换,请切记每一个变换总是对字母x而言的,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少.,作图如下：,题型二 由图象求函数的解析式及对称元素,【例2】已知函数f(x)Asin(x )b(A、0，| | )的图象的一部分如图所示： (1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)图象的对称轴方程； (3)求f(x)图象的对称中心,题型三正切函数的图象,由基本函数的周期可知

6、g(x)tan2x的最小正周期为 ，函数f(x)的定义域不同于g(x)的定义域，显然最小正周期也不同函数f(x)的图象如图所示,规律方法:函数y=Atan(x+ )与y=tanx之间也同样存在类似于y=Asin(x+ )与y=sinx之间的关系.另外,对正切函数要多加训练,熟悉其图象形状.由于正切函数的定义域对应法则都与正余弦函数不同,因此一些性质与正弦余弦函数的性质也有较大差异.特别是正切函数的定义域受到一定的限制,解题时若考虑不到,就有可能出错.,其部分图象如图所示,题型四 三角函数图象性质综合问题,规律方法:三角函数图象性质综合问题一般涉及三角函数的化简图象变换各种性质的判断与求解及与其

7、他知识相结合等方面,解决这类综合问题要先化简,一般题设中给出的三角函数表达式比较复杂,其图象性质等不易直接判断求解,因而应先化简,多数情况下都可以将三角函数化成y=Asin(x+ ),y=Acos(x+ )或y=Atan(x+ )三种标准形式之一,其中A0,0.此外还有可能在上述标准形式后带有一个常项,如y=Asin(x+ )+b形式.,(1)求函数f(x)的解析式； (2)当x6， 时，求函数yf(x)f(x2)的最大值与最小值及相应的x的值,对接高考 试题调研方向备考,答案:D,A.函数y=f(x)g(x)的最小正周期为2B.函数y=f(x)g(x)的最大值为1,答案:D,0,高效作业 自

8、我测评技能备考,一选择题,答案:D,2.(2009广东韶关一模)电流I(A)随时间t(s)变化的函数I=Asin(t+ )(A0,0,0 )的图象如右图所示,则当t= s时,电流是( )A.-5A B.5AC.5 A D.10A,答案:A,A.f(x)=sinxB.f(x)=cosxC.f(x)=sin4xD.f(x)=cos4x,答案:A,答案:D,5.(2009陕西西安四校一模)函数y=sin(x+ )(xR,0,0 2)的部分图象如图,则(),答案:C,6.(2009浙江)已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( ),答案:D,解析:当a=0时f(x)=1,C符合.当02,A符合.当|a|1时T2,B符合.排除ABC,故选D.,二填空题,3,8.设函数y=cos x的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A1,A2,An,则A50的坐标是_.,解析:由 x= +k得x=2k+1(kZ),即对称中心横坐标为x=2k+1,且kN,当k=49时,x=99,则A50的坐标为(99,0).,(99,0),9.已知函数y=2cosx(0 x1000)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形