常用连续分布ppt课件

1、2.5 常用连续分布,正态分布、均匀分布、指数分布、 伽玛分布、贝塔分布。,1,记为X N(, 2),其中 0， 是任意实数., 是位置参数., 是尺度参数.,2.5.1 正态分布,2,y,x,O,正态分布密度函数图形演示,3,正态分布分布函数图形演示,4,正态分布的性质,(1) p(x) 关于 是对称的.,p(x),x,0,在 点 p(x) 取得最大值.,(2) 若 固定, 改变,p(x)左右移动,形状保持不变.,5,(3) 若 固定, 改变, 越大曲线越平坦;, 越小曲线越陡峭.,6,正态分布又称为高斯分布,是最常见最重要的一种分布.一个变量是由大量微小的独立的随机因素共同作用的结果,那么

2、这个变量一定是正态变量.例如测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,7,p(x),x,0,x,x,标准正态分布N(0, 1),密度函数记为 (x),分布函数记为 (x).,8,(x) 的计算,(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表.,(2) x 0时, 用,若 X N(0, 1), 则 (1) P(X a) = (a); (2) P(Xa) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|X|a) = P(aXa) = (a)(a) = (a) 1 (a)

3、 = 2(a)1,9,例2.5.1 设 X N(0, 1), 求 P(X1.96) , P(|X|1.96),= 1 (1.96),= 1(1 (1.96),= 0.975 (查表得),= 2 (1.96)1,= 0.95,= (1.96),解: P(X1.96),P(|X|1.96),= 2 0.9751,10,设 X N(0, 1), P(X b) = 0.9515, P(X a) = 0.04947, 求 a, b.,解: (b) = 0.9515 1/2, 所以 b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66,而 (a) = 0.0495 1/2, 所以

4、a 0, (a) = 0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65,例2.5.2,11,一般正态分布的标准化,定理2.5.1 设 X N(, 2),则 Y N(0, 1).,推论:,若 X N(, 2), 则,12,若 X N(, 2), 则 P(Xa) =,13,设 X N(10, 4), 求 P(10X13), P(|X10|2).,解: P(10X13) = (1.5)(0),= 0.9332 0.5,P(|X10|2) =,P(8X12),= 2(1)1,= 0.6826,= 0.4332,例2.5.3,14,设 X N(, 2), P(X 5)

5、= 0.045, P(X 3) = 0.618, 求 及 .,例2.5.4, = 1.76 =4,解:,15,已知 X N(3, 22), 且 PXk = PXk, 则 k = ( ).,3,课堂练习(1),16,设 X N(, 42), Y N(, 52), 记 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 则( ) 对任意的 ，都有 p1 = p2 对任意的 ，都有 p1 p2,课堂练习(2),17,设 X N( , 2), 则随 的增大， 概率 P| X | ( ) 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定,课堂练习(3),18,正态分布的 3 原则,设 X N(, 2), 则,P( | X

6、 | ) = 0.6828.,P( | X | 2 ) = 0.9545.,P( | X | 3 ) = 0.9973.,在工程应用中，通常认为P|X|31，忽略|X|3的值。 如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。,19,记为X U(a, b),2.5.2 均匀分布,20,21,X U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.,解：,记 A = X 3 ,则 P(A) = P( X 3) = 2/3,设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3, 2/3)，所求概率为,

7、P(Y2) =,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,例2.5.5,22,2.5.3 指数分布,记为 X Exp(),其中 0.,特别：指数分布具有无忆性（“永远年青”），即：,P( X s+t | X s )=P( X t ),23,指数分布密度 函数图形演示,24,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,指数分布分布函数图形演示,25,例2.5.6 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设0，t时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊松分布，求T的概率密度。,解,当t0时，F(t)=0；,当t0时，F(t)=P

8、(Tt)=1-P(Tt),=1-P(在t时刻之前无汽车过桥) =1-P(Xt=0)=1-e-t,于是,26,2.5.4 伽玛分布,记为 X Ga(, ),其中 0， 0.,为伽玛函数.,称,27,注意点,(1),(1) = 1, (1/2) =,(n+1) = n!,(2),Ga(1, ) = Exp(),Ga(n/2, 1/2) = 2(n),28,2.5.5 贝塔分布,记为 X Be(a, b),其中a 0，b 0.,称,为贝塔函数.,29,注意点,(1),(2),B(a, b) =B(b, a),B(a, b) =(a)(b) /(a+b),(3),Be(1, 1) = U(0, 1),

9、30,1 均匀分布,设 X 在区间（a , b) 上服从均匀分布，其概率密度为,X的数学期望为,即数学期望位于区间的中点。方差为:,31,32,33,3 正态分布,设 X 服从参数为 的正态分布，其概率密度为,X的数学期望为,令,34,而方差为,令,35,常用连续分布的数学期望,均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2,指数分布 Exp() : E(X) = 1/,正态分布 N(, 2) : E(X) = ,伽玛分布 Ga(, ) : E(X) = /,贝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b),36,常用连续分布的方差,均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12,指数分布 Exp() 的方差= 1/2,正态分布 N(, 2) 的方差= 2,伽玛分布 Ga(, )方差 = /2,贝塔分布 Be(a, b) = ab/(a+b)2(a+b+1),37,例2.5.7 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)= 2.4, Var(X)=1.44, 则参数 n, p 的值为多少？,例2.5.8 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标 的次数,每 次射中目标的概率为0.4, 则 E(X2)的值为多少？,解：从 2.