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文档简介

1、第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。,第二次数学危机的产生,1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其

2、中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将 x 取一个不为0的增量 x ，由 (x + x)2 - x2 ，得到 2xx + (x2) ，后再被 x 除，得到 2x + x ，最后突然令 x = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。

3、,数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。,这就迫使数学家回过头来重新审视和奠基微积分的理论基础，于是一场微积分或数学分析严密化的工作从世纪末开始了。,历经近百年的时间，在众多数学家艰苦努力下。终于在世纪建立起了微积分的理论基础 极限论。这期间为此作过贡献的有拉格朗日、高斯、柯西、波尔查诺、维尔斯特拉斯等人，其中有卓越贡献的当推,柯西和维尔斯特拉斯。例如，在柯西的分析教程（）中，给出了极限这个概念的基本上明确的叙述，并以极限概念为基础，得出了无穷小量、无穷级数的“和”等一系列基

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