七数培优竞赛讲座第3讲 创造的基石――观察、归纳与猜想

1、第三讲 创造的基石观察、归纳与猜想 当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的 从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法

2、，是创造发明的基石例题【例1】 (1)用表示实圆，用表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下： 问：前2001个圆中，有 个空心圆 (江苏省泰州市中考题) (2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 (舟山市中考题)思路点拨 (1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变；（2）每个三角形数可用若干个数表示 【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )A40个 B45个 C50个 D55个 (湖北省荆门市中考题) 思路点

3、拨 随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系是解本例的关键 【例3】化简 (第18届江苏省竞赛题) 思路点拨 先考察1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确 【例4】古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 从左向右数，第l列是甲子，第3列是丙寅，问当第二次甲和子在同一列时，该列的序号是多少?

4、 ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解 注： 观察是解决问题的先导，发现往往走从观察开始的，归纳与猜想是建立在细致而深刻的观察基础上的，解题中的观察活动主要有三条途径： (1)数与式的特征观察；(2)图形的结构观察；(3)通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况归纳总是与递推联系在一起的，所谓递推，就是在归纳的基础上，发现每一步与前一步或前几步之间的联系，更容易发现规律嘎证明通过归蚋所猜测的规律的正确性【例5】 图(a)、(b)、(c)、(d)都称作平面图图顶点数边数区域数(a)463(b)(c

5、)(d) (1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表中(其中(a)已填好) (2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系? (3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据(2)中推断出的关系，确定这个图有多少条边? ( “华杯赛”决赛试题)思路点拨 从特殊情况人手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本例的关键学力训练1(1)如右图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是 (2001早浙江省绍兴市中考题) 1 1 l 1 2 1 1 3 3 11 4 6

6、 4 11 5 10 10 5 1 (第1题)(2)观察列数：3，8，13，18，23，28，依此规律，在此数列中比2000大的最小整数是 (2003年金华市中考题)2如图是2002年6月份的日历现用一矩形在日历中任意框出4个数 ，请用，一个等式表示之间的关系： (安徽省中考题)3下面由火柴棒拼出的一列图形中，第个图形由个正方形组成通过观察可以发现；(1)第4个图形中火柴棒的根数是 ；(2)第个图形中火柴棒的根数是 (江西省中考题)4小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表，那么当输入数据是8时，输出的数据是( )输入12345输出A B C D (2003年重庆市中考题)5，

7、在以下两个数串中： 1，3，5，7，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，1990，1993，19961990同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个 A333 B334 C335 D336 (“希望杯”邀请赛试题)6图是一个水平摆放的小正方体木块，图、是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是( )A25 B66 C91 D120 (2003年宁波市中考题)7一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是l，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，

8、55，问：这串数的前100个数中(包括第100个数)，有多少个偶数? (“华杯”赛试题)8自然数按下表的规律排列(1)求上起第10行，左起第13列的数； (2)数127应在上起第几行、左起第几列? (北京市“迎春杯”竞赛题)9(1)观察下列各式，你会发现什么规律? 3515， 而15=42一1，5735， 而3562一l， 1ll3143， 而143=122一l 将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来 (2000年济南市中考题)（2）将l，按一定规律排成下表： 从表中可以看到第4行中，自左向右第3个数是，第5行中从左向右第2数是，那么第199行中自左向右第8个数是 ，第1998行中自左向

9、第11个数是 (希望杯”邀请赛试题)10有一列数，其中； ；则第个数 ；当2001时，n (江苏省竞赛题)11一个正方体，它的每一个面上写有一个字，组成“数学奥林匹克”有三个同学从不同的角度看到的结果依次如图所示，那么，“学”字对面的字为 (重庆市竞赛题)12用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的7个正方形花坛的边缘，正方形每边都等距离地摆n(n3)盆花那么所需菊花的总盆数s与n的关系可以表示为 ( “希望杯”邀请赛试题)13如果一个序列满足, (n为自然数)，那么是( ) 9900 B9902 C9904 10100 E10102 (新加坡数学竞赛题)14将正偶数按下表排成5列 第1列 第2列

10、第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 28 26 根据上面排列规律，则2000应在( ) A第125行，第1列 B第125行，第2列 C第250行，第1列 D第250行，第2列 (2001年湖北省荆州市中考题)15(1)设n为自然数，具有下列形式的数是不是两个连续奇数的积，说明理由 (2)化简，并说明在结果中共有多少个奇数数字? 16(1)图是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图、的木块 我们知道，图的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图、图顶点数棱数面数863中木块的顶点数、棱数、面数填人下表：2观察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数虽关系是： (3)图是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 17怎样的两个数，它们的和等于它们的积?你大概马上就会想到2+222其实这样的两个数还有很多，例如： (1)你能再写出一些这样的两个数吗?你能从中发现一些规律吗? (2)