浙江省桐乡市高级中学人教A高中数学选修22课件第一章131导数的单调性与导数共28

1、1.3.1 函数的单调性与导数,复习,1 、 某点处导数的定义,这一点处的导数即为这一点处切线的斜率,2 、 某点处导数的几何意义,3 、 导函数的定义,4、由定义求导数的步骤（三步法）,5、 求导的公式与法则,如果函数 f(x)、g(x) 有导数，那么,6、 求导的方法,定义法,公式法,引例、 已知函数y=2x3-6x2+7, 求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.,（1）任取x1x2 ( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形 （3）判断符号 （4）下结论,用定义法判断函数单调性的步骤：,引入： 函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况, 而导数也正是研究自变量的增

2、加量与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？,若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正,若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，,分析：从图形看,1) 如果恒有f (x)0，那么yf(x)在这个区间(a,b)内单调递增；,2) 如果恒有f (x)0，那么yf(x)在这个区间(a,b)内单调递减。,一般地，函数 yf(x)在某个区间(a,b)内,定理,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,二.例题：,1.设f (x)是函数f(

3、x)的导函数，y=f (x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是( ),x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,A,B,C,D,2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间。,利用导数判断函数单调性的基本步骤：,(1)确定定义域；,(2)求f (x);,(3)在f(x)的定义域内解不等式f (x)0和f (x)0;,(4)确定函数f(x)的单调区间。,注、单调区间不 以“并集”出现。,3：设函数f(x)=ax- (a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。,变式1：已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在区间(0

4、,1)上是增函数，求实数a的取值范围。,变式2：已知x1，求证：xln(x+1).,小结：根据导数确定函数的单调性,1.确定函数f(x)的定义域.,2.求出函数的导数.,引例：你能确定y=2x3-6x2+7的大致图象吗?,一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.,函数极值的定义,如果x0是f/(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f/(x)0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极

5、小值.,导数的应用二、求函数的极值,如果x0是f/(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f/(x)0，在x0右侧附近f/(x)0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值,例1 、求函数 极值.,注、极值点是导数值为0的点的横坐标,能化出草图吗?,练:(1)y=(x2-1)3+1 (2)y=-2x2+5x (3)y=x3-27x (4)y=3x2-x3,用导数法求解函数极值：,(1)求导函数f /(x)； (2)求解方程f /(x)=0,得出的根称为可能极值点； (3)检查f /(x)在方程f /(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值.一般通过列表获得 (4)结论,用

6、导数法求解函数极值的步骤：,练习：,1， 2，,3，,导数的应用之三、求函数最值.,在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.,(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),表格法,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的极值与最值,故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为2，最大值为11，最小值为2,法二、,解、 f (x)=2x-4,令f (x)=0，即2x-4=0，,得x=2,-,+,3,11,2,思考、1.已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间1,5内的最小值为2，求m的值,2. 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离,分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a= -1.,3.已知函数f(x)=x33x29xa, （I）求f(x)的单调递减区间； （II）若f(x)在区间2，2上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值,4.设函数,（1）若,处取得极值，,上为增函数，求a的取值范围.,（