高中数学人教A浙江一轮参考课件107离散型随机变量的均值与方差

1、10.7离散型随机变量的均值与方差,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.离散型随机变量的均值 (1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为:,则称E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且E(aX+b)=aE(X)+b. (3)若X服从两点分布,则E(X)=p; 若XB(n,p),则E(X)=np.,-4-,知识梳理,双击自测,2.离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为,则(xi-E(X)2描述了xi(i=1,2,n)相对于均值E(X)的偏

2、离程度.而D(X)= 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差,其算术平方根 为随机变量X的标准差. (2)D(aX+b)=a2D(X). (3)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p). (4)若XB(n,p),则D(X)=np(1-p).,-5-,知识梳理,双击自测,1.已知随机变量X的分布列如下表,则E(X)=(),A.0.4B.1.2C.1.6D.2,2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)= ,k=1,2,3, 则D(3X+5)=() A.6B.9C.3D.4,D,解析:由0.2+0.2+y=1,得y=0.6,所以E(X

3、)=10.2+30.6=2.故选D.,A,-6-,知识梳理,双击自测,3.设XB(n,p),若D(X)=4,E(X)=12,则n的值为. 4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若表示取到次品的个数,则D()=.,18,-7-,知识梳理,双击自测,5.随机变量的取值为0,1,2,若P(=0)= ,E()=1,则D()=.,-8-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.求离散型随机变量均值先要正确求出每个随机变量的概率,然后由公式求出均值. 2.D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散.,-9-,考点一,考点二,离

4、散型随机变量的均值(考点难度) 例1(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.,-10-,考点一,考点二,例2(2017届嘉兴、湖州基础知识测试)已知一个袋子中装有4个红球和2个白球,假设每个球被摸到的可能性是相等的,若从袋子摸出3个球,记摸到白球的个数为,则=1的概率是,随机变量的均值是.,1,-11-,考点一,考点二,方法总结求离散型随机变量均值的步骤: (1)理解随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值; (2)求X取每个值的概率; (3)写出X的分布列; (4)由均值定义求出E(X).,-12-,考点

5、一,考点二,对点训练某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.,-13-,考点一,考点二,-14-,考点一,考点二,离散型随机变量的方差(考点难度) 例3从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=

6、3,则D(X)=(),B,-15-,考点一,考点二,方法总结1.D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之,D(X)越小说明X的取值越集中在E(X)附近.统计中常用 来描述X的分散程度. 2.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量偏离均值的程度.它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.,-16-,考点一,考点二,对点训练袋中有20个大小相同的球,其中标号为0的有10个,标号为n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表

7、示所取球的标号. (1)求X的分布列、数学期望和方差; (2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.,-17-,考点一,考点二,-18-,解题模板 典例已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).,-19-,-20-,反思提升求离散型随机变量的分布列与数学期望的基本

8、步骤: 第一步,明确变量,确定随机变量的所有可能的取值; 第二步,求概率,求每一个可能值所对应的概率; 第三步,得分布列,列出离散型随机变量的分布列; 第四步,公式求值,利用公式求均值和方差; 第五步,回顾检查,解后反思.,-21-,高分策略1.计算均值与方差的基本方法 (1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差,可直接用定义或公式求; (2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差,可直接用均值及方差的性质求; (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),则可直接利用它们的均值、方差公式来求. 2.求均值与方差常用的结论 掌握下述有关结论,会给解题带来方便: (1)E(aX+b)=aE(X)+b, E(X+Y)=E(X)+E(Y), D(aX+b)