函数与极限练习题

1、.第一章函数与极限1 函数一、是非判断题1、 f ( x) 在 x上有界， g( x) 在 x 上无界，则 f ( x) g( x) 在 x 上无界。2、 f ( x) 在 x上有界的充分必要条件是存在数a 与 b ，使得对任一 xx 都有a f ( x)b3、 f ( x), g ( x) 都在区间 i 上单调增加，则f ( x)g(x) 也在 i 上单调增加。4、定义在（，）上的常函数是周期函数。5、任一周期函数必有最小正周期。6、 f ( x) 为（，）上的任意函数，则f (x3 ) 必是奇函数。7、设 f ( x) 是定义在a,a 上的函数，则f (x) f ( x) 必是偶函数。8、

2、f(x)=1+x+ x2是初等函数。二单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是（ a ） y | eln x |（ b ） yx2（ c） y4x 4（ d） yx sgn x2、下列函数中既是奇函数，又是单调增加的。（ a ） sin3 x（ b） x3+1（ c） x3+x（ d） x3-x3、设 f ( x) x2 , f( x) 22 x ,则函数( x) 是（ a ） log 2x（ b ） 2x（ c） log 2 x2（ d） x 24、若 f ( x) 为奇函数，则也为奇函数。(a) f ( x) c, (c0);(b) f (x)c, (c 0)(c)f (x)f

3、( x );(d) f f ( x).三下列函数是由那些简单初等函数复合而成。1、 y= earctan( x 1)2、 y=xxx3、 y= ln ln ln x.四设 f(x) 的定义域d=0 ，1 ，求下列函数的定义域。（ 1） f( x2 )(2) f(sinx)(3) f(x+a) (a0)(3) f(x+a)+f(x-a) (a0)五设 f (x)2x,x0， g( x)5x,x0 ，求 f g( x) 及 g f ( x) 。x,x03x,x0六利用f ( x)sin x 的图形作出下列函数的图形：1 y| f ( x) |2。 yf (| x |)3 yf ( x)24。 yf

4、 ( x2)5 y2 f ( x)6。 yf (2x).2 数列的极限一 是非判断题1、当 n 充分大后，数列xn 与常数 a 越来接近，则lim xna.x2、如果数列xn 发散，则 xn 必是无界数列。3。如果对任意0, 存在正整数n，使得当nn 时总有无穷多个xn 满足 | xna |，则lim xna.n4、如果对任意0, 数列 xn 中只有有限项不满足| xna |，则 lim xna.n5、若数列xn 收敛，列yn 发散，则数列xnyn 发散。二单项选择题1、根据lim xna 的定义，对任给0, 存在正整数n ，使得对 nn 的一切 xn，不等式nxna都成立这里的n。（ a ）

5、是的函数 n()，且当减少时 n （）增大；（b）是由所唯一确定的（ c）与有关，但给定时 n 并不唯一确定（ d）是一个很大的常数，与无关。1 ,当n为奇数2、 xnn7则。10,当 为偶数n（ a ） lim xn0;（b ） lim xn10 7 ;nn（ c） limxn0, n为奇数 ,lim xn 不存在7;(d)n10, n为偶数n3、数列有界是数列收敛的。（ a ）充分条件；（ b）必要条件；（ c）充分必要条件；（ d）既非充分又非必要条件。4、下列数列 xn 中，收敛的是。（ a ） xn(1) n nn1（ b） xnn（c） xnsin n（ d） xn n ( 1)n

6、n12三根据数列极限的定义证明。（ 1） lim10（ 2） lim2n12n23n13nn.（ 3） limsin n0（ 4） lim (12n1222)nnnnnn2四、若 lim xn0 ，又数列 yn 有界，则 lim xn yn0 。nn五、若 lim xna ，证明 lim | xn | | a |。反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出nn反例。. 3函数的极限一 是非判断题1、如果 f ( x0 ) =5，但 f ( x00)f ( x00)4,则 lim f (x) 不存在。xx02、 limf ( x) 存在的充分必要条件是lim f (x) 和 limf ( x) 都存

7、在。xxx3 、 如 果 对 某 个0, 存 在0, 使 得 当 0n 有 ynxnzn,那么 lim xn a.nnx2、如果数列 xn 足：（ 1） xna(n 1,2., a为常数 ；（2） xnx n+1(n=1,2 )则.xn 必有极限3、 lim sin x1xx4、 lim (11 ) n1n n15 lim (1x) xx 0二单项选择题1、下列极限中，极限 不 0 的是。（ a ） lim arctgx（ b） lim 2 sin x3cos x（ c） lim x 2 sin 1（d ） lim4x22xx;xxx 0xxxx2、若 f ( x)( x), 且 limf (

8、 x) a,lim ( x)b,则必有。xaxb（ a ） ab(b)a b(c)|a|b(d)|a| |b|3、 lim (11 ) n 1000的 是。x n(a)e(b)e 1000(c)e e1000(d) 其它 4、 lim tgx。x sin x(a)1(b)-1(c)0(d)5、 lim (x sin 11 sin x)。x0xx(a)-1(b)1(c)0(d) 不存在三 算下列极限（ 1）limsin 2x（ 2） limtg3xxxx 0x 0（ 3）limh（ 4） lim1 cos2xx sin xh01 cos axx 0.1（ 5）lim (1x) xx0（ 7）li

9、m (1x )2 xx x（ 9） lim (112 ) 3xxx（ 11） lim1 x1 xsin 3xx 0（ 6） lim x 12xx0（ 8） lim (11 ) kx （ k 为正整数）x x（10）lim (13sin x) 2 cos xx0sin 3xx 2 sin 1（ 12） limxx 0(1cos x)x三利用夹逼准则证明： lim n(111) 1222nn1n 2nn四设 x1a 0 ， xn 112( xn) n 1,2,3, ，利用单调有界准则证明：数列 xn 2xn收敛，并求其极限。 7 无穷小的比较.一，是非题1、, 是同一极限过程中的无穷小，且 , 则

10、必有 。2、x0时 sin x x, lim tgx sin xlim xx0xsin 3xx 0x33、已知 limcosx，由此可断言，当x0时 , cos x与 (1x) 为等价无穷小。 1x 01 x4当 x0 时， sin 3x与 ex15当 x1时， 13x是 x1二单项选择题1、 x 0 时， 1 cosx 是 x2 的是同阶无穷小。的高阶无穷小。(a) 高阶无穷小(b) 同阶无穷小，但不等价(c) 等价无穷小(d) 低阶无穷小2、当 x0 时，（ 1cosx） 2 是 sin2x 的。(a) 高阶无穷小(b) 同阶无穷小，但不等价(c)等价无穷小(d) 低阶无穷小3、如果x,1

11、1,则 a bc应满足。时是比高阶的无穷小bx cx1, ,ax 2(a)a0,b1, c1(b)a 0,b1, c为任意常数(c)a0,b,c为任意常数(d)a,b,c都可以是任意常数4、 x1时与无穷小1x 等价的是。(a)1 1x3(b)1 1x(c)1 1 x2(d) 1x2225下列极限中，值为1 的是。(a)limsin x(b) limsin x(c) limsin xsin x2 x(d) limx2 xx 0 2xx2x 2 x三证明：当 x0时， 2 (cos xcos2x) x2 。3四确定的值，使 1 tan x1 sin x 1 x （ x 0)4 8 函数的连续性与

12、间断点.一是非题1、 f ( x) 在其定义域（ a,b）内一点 x0 处连续的充分必要条件是f (x) 在 x0 既左连续又右连续。2、 f ( x) 在 x0 有定义，且 limf ( x) 存在，则 f ( x) 在 x0 连续。x x03、 f ( x) 在其定义域（ a,b）内一点 x0 连续，则 lim f ( x) = f (lim x)x x0x x04、 f ( x) 在（ a,b）内除 x0 外处处连续，点x0 是 f ( x) 的可去间断点，则f ( x)f ( x) x ( a, x0 )或( x0 ,b)在内连续limf (x), xx0( a, b)xx05、 f

13、( x) 在 xx0 无定义，则f ( x) 在 x0 处不连续。二单项选择题1、 f ( x) 在点 x0 处有定义是 f ( x) 在点 xx0 连续的。(a)必要条件而非充分条件(b)充分条件而非必要条件(c)充分必要条件(d)无关条件2、 lim f (x)f (x0 )是f ( x)在 xx0 连续的。xx0（ a ）必要条件而非充分条件(b) 充分条件而非必要条件(c)充分必要条件(d) 无关条件3、 x0是 f (x)sin x sin 1的。x(a) 可去间断点(b) 跳跃间断点(c)振荡间断点(d) 无穷间断点4、 f ( x)x 21, x 1,则x 1是 f ( x)的x

14、1。2 x, x1,(a) 连续点(b) 可去间断点(c) 跳跃间断点(d) 无穷间断点xsin x , x0,5、 f (x)x。0,x0,则x0是f ( x)的x cos1 , x0,x(a) 连续点(b)可去间断点(c) 跳跃间断点(d) 振荡间断点6、设函数 f (x)(1x) cot x , 则定义 f(0) 为时 f (x) 在 x0 处连续1(b) e(c) -e(d) 无论怎样定义f (0),f ( x) 在 x0 处也不连续(a)e三研究下列函数的连续性，并画出图象。.x2 ;0x1x; 1x1（ 1） f ( x)x2（ 2） f (x)或x 12 x;11; x1四判断下

15、列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续。x21（ 1） yx2 3x 2 x=1,x=2(2)xx=kx k(k 0, 1, 2 )ytgx2x1; x1（ 3）yx=13x; x1五 .讨论函数 f ( x) lim 1x2 n2 n 的连续性，若有间断点判断其类型。n1x.9 连续函数的运算与初等函数的连续性一是非题1、 f(x),g(x)在 xx0 连续，则 f 2 ( x)2 f (x). g( x)3g( x) 在 x x0 也连续。2、 f ( x) 在 xx0 连续， g(x) 在 xx0 不连续，则f ( x)g (x) 在 x0 一定

16、不连续。 3、 f ( x) 在 x0 连续， g (x) 在 x0 不连续，则 f ( x).g( x) 在 x0一定不连续。4、 f (x)x sin x,) 上连续。ex在 (5、不连续函数平方后仍为不连续函数。三 .求函数x33x 2x 3的连续区间。f ( x)2x6x2x1;0x 1四 .求函数 f ( x)x的连续区间。3x;13四 .设函数ex ; x 0应当怎样选择数a,使得 f(x) 成为 (, ) 内的连续函数。f ( x)a x; x0五求下列极限（ 1） lim cos2 xcos2 a（ 2） lim ln(1 2x)x axax 0sin 5x.（ 3） lim

17、1cosx（ 4） lim1 tan x31 sin xx0 1cos xx 0ex11（ 5） lim3 x1（ 6） lim 3arctan x01x3 x1x六设函数sin ax1cos xx0f ( x)bx01 ln xln( x2x)x0x问 a, b 为何值时，f (x) 在 (,) 内连续.10 闭区间上连续函数的性质一是非题1、 f ( x) 在（ a,b）内连续，则 f (x) 在（ a,b）内一定有最大值和最小值。2、设 f ( x) 在 a,b 上连续且无零点，则f (x) 在上 a,b 恒为正或恒为负。3、 f ( x) 在 a,b 上连续且单调， f(a) f(b)

18、0, 则 f ( x) 在（ a,b）内有且只有一个零点。 4、若 f ( x) 在闭区间 a,b 有定义， 在开区间 （ a,b）内连续， 且 f(a)f(b)0 ，则 f ( x) 在（a,b）内有零点。5、 f ( x) 在 a,b 上连续，则在 a,b 上有界。6、 tg1 0,tg 31 0, tgx在 (, 3 ) 内必有零点。4444二单项选择题1、函数 f ( x)在 a, b 上有最大值和最小值是f ( x)在 a, b 上连续的(a)必要条件而非充分条件(b)充分条件而非必要条件(c)充分必要条件(d)既非充分条件又非必要条件。2、 f (x)在 a,b上 连 续 ， f ( a) f (b) 0, xx1x2x3 x4 x5x6b, 且f ( x1 )f (x3 ) f (x6 )