高斯平面直角坐标系的建立

1、.空间数据的地理参照系和控制基础4、高斯克吕格投影高斯克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影。 它是将一椭圆柱横切于地球椭球体上， 该椭圆柱面与椭球体表面的切线为一经线， 投影中将其称为中央经线，然后根据一定的约束条件即投影条件， 将中央经线两侧规定范围内的点投影到椭圆柱面上，从而得到点的高斯投影 ( 图 3-2-5) 。 将一球椭球体地球装在椭圆柱内上下切点为中央经线。高斯投影的条件为：(1) 中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对称轴；(2) 等角投影；(3) 中央经线上没有长度变形。根据高斯投影的条件推导出的高斯克吕格投影的计算公式为：式中： X、Y 为点的平面直角坐标系的纵、横坐标；

2、.、 为点的地理坐标，以弧度计，从中央经线起算；S 为由赤道至纬度 处的子午线弧长；N为纬度 处的卯酉圈曲率半径；其中 为地球的第二偏心率， a、b 则分别为地球椭球体的长短半轴。高斯投影由于是等角投影， 故没有角度变形， 其沿任意方向的长度比都相等，其面积变形是长度的两倍。 对高斯克吕格投影长度变形的研究可以依下述长度比表达式进行：由该长度比公式可以分析出高斯投影变形具有以下特点：(1) 中央经线上无变形；(2) 同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大；(3) 同一条经线上，纬度越低，变形越大；由此可见，高斯投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处， 为了控制变形，我国地形图采用分带方法，即将

3、地球按一定间隔的经差 (6 或 3) 划分为若干相互不重叠的投影带，各带分别投影。 1： 2.5 万至 1： 50 万的地形图均采用 6分带方案，即从格林尼治零度经线起算，每 6为一个投影带，全球共分为 60 个投影带。我国领土位于东经 72到 136之间，共包括 11 个投影带 (13 带 22 带) 。1：1 万及更大比例尺地形图采用 3分带方案，全球共分为 120 个投影带。图 34 给出了高斯投影的 6带和 3带分带方案。.为了制作地图和使用地图的方便， 通常在地图上都绘有一种或两种坐标网，即经纬线网和方里网。经纬线网 即指由经线和纬线所构成的坐标网，又称地理坐标网。在 1：1 万 1

4、：20 万比例尺的地形图上，经纬线只以图廓线的形式直接表现出来， 并在图角处注出相应度数。 为了在用图时加密成网， 在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线 ( 图式中称“分度带” ) ，必要时对应短线相连就可以构成加密的经纬线网。 1：25 万地形图上，除内图廓上绘有经纬网的加密分划外，图内还有加密用的十字线。我国的 1： 50 万 1：100 万地形图，在图面上直接绘出经纬线网，内图廓上也有供加密经纬线网的加密分划短线。方里网 是由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网。 因为是每隔整公里绘出坐标纵线和坐标横线， 所以称之为方里网， 由于方里线同时又是平行于直角坐标轴的坐标网线，故又

5、称直角坐标网。直角坐标网的坐标系以中央经线投影后的直线为 X 轴，以赤道投影后的直线为 Y 轴，它们的交点为坐标原点。这样，坐标系中就出现了四个象限。纵坐标从赤道算起向北为正、向南为负；横坐标从中央经线算起，向东为正、向西为负。我国位于北半球，全部 X 值都是正值。在每个投影带中则有一半的 Y 坐标值为负。为了避免 Y 坐标出现负值，规定纵坐标轴向西平移 500km(半个投影带的最大宽度不超过 500km)。这样，全部坐标值都表现为正值了。.1 绪论坐 系 的 一 工程来 是一 首先必 行的工作，同 坐 系 的适当与否关系到整个工程的 量 ，因此 坐 系 的研究是一 非常重要和必 的工作。我国

6、 范 定：所有国家的大地点均按高斯正形投影 算其在 内的平面直角坐 。在 1 ： 1万和更大比例尺 的地区， 加算其在 内的直角坐 系。我 通常将 种控制点在 或带内的坐 系称 国家 一坐 系 。在 用中，国家 一坐 系 往往不能 足工程建 的需要，所以必 不同的工程采用适合它的独立坐 系 。 路独立坐 系的建立方法研究主要是研究 路工程中如何建立坐 系 而使其精度能 足工程需要。由于 路 量的特点是跨度 ， 当采用国家 一坐 系 往往会因 离开中央子午 而使 形量超限，因此必 采用独立坐 系 。由于 路工程的不同，因此需采用的独立坐 系 也不尽相同。所以 不同的 路工程 采用不同的独立坐 系

7、 。 当 路工程是南北走向 由于 路基本上位于中央子午 上 , 因此不必要 多个独立坐 系 的 接 行研究。 当 路工程是 西走向 由于 路跨度 而往往需要建立多个独立坐 系 ，因此需要 多个独立坐 系 的 接 行研究。公路、 路、架空送 路以及 油管道等均属于 型工程，它 的中 称 路。一条 路的勘 和 工作，主要是根据国家的 划与自然地理条件，确定 路 合理的位置。 达此目的，必 行反复地 践和比 。 路在勘 段首先要 行控制 量工作，由于在 路控制 量 程中，每条 路所在 区的位置不同且距离不可能很短 , 有的可能跨越一个投影 , 二个投影 甚至更多 , 所以 , 在 路控制 量中 ,

8、投影 度 形很容易超限， 就需要我 采取一定的措施来使投影 度 形减弱，将投影 度 形控制在允 的范 之内。最有效的方法就是建立与 区相适 的坐 系 。坐 系 是所有 量工作的基 ， 所有 量成果都是建立在其上的 , 因此坐 系 的适当与否关系到整个工程的 量 。 于 路工程而言，使投影 度 形控制在允 的精度范 之内是建立独立坐 系 主要解决的 ，因此，独立坐 系 的建立主要是根据 路的 度和所在 区的不同而建立与本 区和本 路相适 的坐 系 ，从而使其投影 度 形控制在允 范 之内。本文以 路控制 量 例， 述了 路独立坐 系 的建立方法。2 高斯平面直角坐标系的建立.我们已经知道，大地坐

9、标系是以椭球面为基准面的坐标系，它可以用来确定地面点在椭球面上的位置，但是如果用于大比例尺测图控制网以及工程控制网则不适应。因此通常是将椭球面上的元素，如大地坐标、长度、方向等转化至平面上，采用平面直角坐标系进行计算，本章就高斯平面直角坐标系的建立及相关问题进行了讨论。2.1.1地球椭球的基本几何参数参考椭球具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。有关元素如图1O 为椭球中心；NS 为旋转轴；a 为长半轴；b 为短半轴；子午圈

10、（或径圈或子午椭圆）；平行圈（或纬圈）；赤道。旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）（图 1 ：椭球参数示意图）来决定的，即：椭圆的长半轴：a椭圆的短半轴：b椭圆的扁率：(2-1)椭圆的第一偏心率：(2-2).椭圆的第二偏心率：(2-3)其中： a 、 b 称为长度元素；扁率反映了椭球体的扁平程度，如=0 时，椭球变为球体；=1 时，则为平面。e 和 e / 是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a或 b ），人们习惯于用和表

11、示椭球的形状和大小，便于级数展开。引入下列符号：(2-4)式中 B 为大地纬度， c 为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）。两个常用的辅助函数，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。(2-5)传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200 多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值各异的椭球参数。由于卫星大地测量的发展，使推求总地球椭球体参数成为可能，自1970年以后的椭球参数都采用了卫星大地测量资料。长半经变化于6378135m 6378145m之间，扁率分母变化于298.25

12、298.26之间， 可见精度已很高。比较著名的有30 个椭球参数，其中涉及我国的如表1 示：（表 1 ：椭球参数表）椭球参数年代长半径 m扁率分母采用国家、地区海福特19066378283297.8美、阿根廷、比利时、大洋洲克拉索夫斯基19406378245298.3苏、东欧、中、朝鲜等.1975年大地坐标19756378140298.2571975 年国际第三个推荐值我国 1954 年北系京坐标系应用WGS-8419846378137298.25722GPS 定位系统的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年西安坐标系应用的是1975 年国际椭球参数，而GPS 应用的是 WGS-84系椭球参数。2

13、.1.2地球椭球参数间的相互关系由 (2-2) 和(2-3) 式得：并得：(2-6)推得：同理可得：(2-8).。2.2.1高斯投影与高斯平面直角坐标地球投影 所谓地球投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。(2-9)式中 L，B 是椭球面上某点的大地坐标，而是该点投影后的平面( 投影面 ) 直角坐标。式(2-9)表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标投影公式。投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。投影的方法很多，如高斯投影、 兰勃脱投影等。我国采用高斯投影。高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，是德国

14、测量学家高斯于1825 1830年首先提出的。实际上，直到1912 年，由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推广，所以该投影又称高斯 - 克吕格投影。想象有一椭圆柱面横套（图 2 ：横轴椭圆柱等角投影示意图）在地球椭球体外面，并与某一条子午线（称中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。我国规定按经差和度进行投影分带，大比例尺测图和工程测量一般采用带投影。特殊情况下工程测量控制网也可用带或任意带。.高斯投影 自子午 起每隔 差自西向 分 ， 依

15、次 号 1,2,3, 。我国 中央子午 的 度，由起每隔而至，共 12 ， 号用 n 表示，中央子午 的 度用表示， 与 n 的关系 。（ 3 ：高斯投影分 示意 ）高斯投影 是自子午 每隔 差自西向 分 ，它的中央子午 一部分同 中央子午 重合，一部分同 分界子午 重合， 号用n / 表示， 中央子午 用L 表示，关系是：。在投影面上，中央子午 和赤道的投影都是直 ，并且以中央子午 和赤道的交点O 作 坐 原点，以中央子午 的投影 坐 ，以赤道的投影 横坐 ， 便形成了高斯平面直角坐 系。在我国坐 均 正，坐 的最大 （在赤道上） 约为 330KM 。 避免出 的横坐 ，可在横坐 上加500

16、KM 。此外 在坐 前面冠以 号， 种坐 称 国家 一坐 。如某点 Y=19123456.789m， 点位于 19 内，其相 于中央子午 而言的横坐 是：首先去掉 号， 再减去 500KM ，最后得 y=-376543.211m。由于分 造成了 界子午 两 的控制点和地形 于不同的投影 内， 了把各 成整体，一般 定各投影 要有一定的重叠度，其中每一 向 加 ，向西加 ， 在上述重叠范 内，控制点将有两套相 的坐 ，地形 将有两套公里格网，从而保 了 地区控制点 的互相 用，也保 了地 的拼接和使用。由于高斯投影是正形投影，故保 了投影的角度不 性、 形的相似性以及在某点各方向上 度比的同一性

17、；由于采用了同 法 的分 投影，既限制了 度 形，又保 了在不同投影 中采用相同的 公式和数表 行由于 形引起的各 改正的 算，且 与 的互相 算也能用相同的公式和方法 行。高斯投影 些 点使它得到广泛的推广和具有国 性。2.2.2高斯投影坐标正反算公式2.2.2. 1高斯投影坐 正算公式：B,x,y高斯投影必 足以下三个条件：.中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即式中， x 为的偶函数， y 为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛。（ 2-10 ）式中是待定系数，它们都是纬度B 的函数

18、。由第三个条件知：分别对和 q 求偏导数并代入上式(2-11)上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即(2-12)(2-12)是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。由第二条件知 : 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X ，即(2-10)式第一式中，当时有：.(2-13)顾及 ( 对于中央子午线)得：(2-14,15)(2-16)依次求得并代入 (2-10)式，得到高斯投影正算公式(2-17)2.2.2. 2高斯投影坐标反算公式x,yB,投影方程：(2-18)高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。.由 x 求底点纬度 ( 垂足纬

19、度 ), 对应的有底点处的等量纬度，求 x,y 与的关系式，仿照式有，由于 y 和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将展开为 y 的幂级数；又由于是对称投影，q 必是 y 的偶函数，必是 y 的奇函数。(2-19)是待定系数，它们都是x 的函数 .由第三条件知：， (2-20)(2-19)式分别对 x 和 y 求偏导数并代入上式上式相等必要充分条件，是同次幂 y 前的系数相等，.第二条件，当y=0 ，点在中央子午 上，即x=X ， 的点称 底点，其 度 底点 度，也就是 x=X 的子午 弧 所 的 度， 所 的等量 度 。也就是在底点展开 y 的 数。由(2-19)1式依次求得其它各系数(2-21)(2-21)1将代入 (2-19)1式得(2-22)1(2-22)将代入 (2-19)2式得 (2-23)2式。 ( 最后表达式 )求与的关系。.由式知：(2-23)