四种线性代数模型

1、.线性代数是高等学校理工科和经济类学科相关专业的一门重要基础课，它不仅是其他数学课程的基础，也是物理、力学、电路等专业课程的基础。作为处理离散问题工具的线性代数，也是从事科学研究和工程设计的科研人员必备的数学工具之一。实验一生物遗传模型1.工程背景aa 、 aa 和 aa。常染色体遗传的规律是：设一农业研究所植物园中某植物的基因型为后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对。 如果考虑的遗传特征是由两个基因 a 、a 控制的，那末就有三种基因对，记为 aa 、aa 和 aa。研究所计划采用 aa(aa)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后， 这种植

2、物的任意一代的三种基因型分布如何?2. 问题分析分析双亲体结合形成后代的基因型概率，如表6-4 所示。表 6-4 基因型概率矩阵后代父体母体的基因对基因对aa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa11/201/400aa01/211/21/20aa0001/41/213. 模型建立与求解设 an , bn , cn 分别表示第 n代植物中基因型 aa 、 aa 、aa型的植物占植物总数的百分率。ana0则第 n代植物的基因型分布为x(n)bn， x(0)b0表示植物型的初始分布。依据上述基cnc0因型概率矩阵，有 anan 11 bn 1 ， bn1 bn 1cn 1 ，

3、 cn0 ， an bn cn1 ，表示为22矩阵形式an11/ 20an 1bn01/ 21bn 1cn000cn 111/ 20记 m01/ 21，则 x(n )mx (n 1)m 2 x(n 2)m 3 x( n 3)l m n x(0) 。000于是问题归结为如何计算m n ，可将 m 对角化。易于计算m 的特征值为 1、 1/2、 0，其相应的特征向量为(1,0,0) t， (0, 1,0)t ， (1,2,1)t 。10111/ 20令 p 012 ，则 m p 01/ 21p 1 。001000.11/ 20n于是 x(n )m n x(0)p 01/ 21p 1 x(0)000

4、1011n0010110120(1/ 2)n0012x(0)00100000111(1/ 2n )1(1/ 2n 1 )a0b0c0 (1/ 2n )b0 (1/ 2n 1 )c001/ 2n1/ 2n 1x(0)(1/ 2n )b0 (1/ 2n 1)c000001(1/ 2n )b0 (1/ 2n 1)c0(1/ 2n )b0(1/ 2n 1 )c0。0当 n， an1, bn 0 ，因此，可以认为经过若干年后，培育出的植物基本上呈现aa型。实验二 员工培训问题1. 工程背景某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 1/6 熟练工支援其他生产部门， 其缺额由招收新的非

5、熟练工补齐。新、老非熟练工经培训及实践至年终考核有 2/5 成为熟练工。若记第n 年一月份统计的熟练工与非熟练工所占比例分别为xn。yn2. 问题问题 1：第 n+1年熟练工与非熟练工所占比例xn 1与第 n 年熟练工与非熟练工所占比yn 1例xn的关系。ynx11xn 1问题 2：若第1 年熟练工与非熟练工所占比例为2，求。y11yn 123. 模型建立与求解依据题意，有 xn 15 xn2 ( 1 xnyn ) ， yn 13 ( 1 xn yn ) 。65656.xn 19xn2yn整理化简得10513，yn 1xnyn105xn 192xn92xn 1xn105，记 a105，亦有a。

6、即yn 1ynyn 113 yn13105105xnxnxn1由问题 1 结果，有1aa21lan 2。yn1ynyn112问题归结为求an ，可将 a 对角化。易于计算1、 1/2 是矩阵 a 的两个特征值，且相应的特征向量为 4,1 t ,1,1 t 。921041 ，则 p 105 p 1记 p0111132105101 n1 nn1 411 114 ( 2 )4 4( 2)。a5 1 10 ( 1 )n1 45111)n1)n2(4(2211n因此xn 1n2183(2)。ayn 111023( 1)n22实验三多金属分选流程计算1. 工程背景设,j 原矿产率及第j 种产品产率， %，

7、100% ；i 原矿中第 i 种金属品位， %；ij 第 j 种产品中第 i 种金属品位， %；第 j 种产品中第 i 种金属的理论回收率，%；ij.按照金属平衡和产率平衡进行计算。为了计算方便，尾矿视为产品。金属平衡，nij ij , i1,2, l , mj 1产品平衡，nj100%j 1其中，尾矿产率及金属品位为n , iin解次多元线性方程组求出产品产率。各产品任一金属回收率ijjijn100% 。jijj 12. 问题某铅锌矿选矿厂生产的产品为铅、 锌、硫精矿和尾矿， 已化验知各产品的金属品位 （见下表），试计算各产品产率和回收率。表 6-5 各产品的化验品位品位产品名称铅（金属1）

8、锌（金属2）硫（金属3）原矿3.143.6315.41铅71.043.7115.70锌1.2051.5030.80硫0.380.3542.38尾矿0.340.101.403. 模型建立与求解设铅、锌、硫和尾矿的产率为 x1 , x2 , x3 和 x4 ，按照金属平衡与产率平衡，可建立以下线性方程组：71.04x11.20x20.38x30.34x4100 3.143.71x151.50x20.35x30.10x41003.6315.70x130.80x242.38x31.40x4100 15.41x1x2x3 x4100matlab源代码：a=71.041.200.380.34;3.7151

9、.500.350.10;15.7030.8042.381.40;1 1 1 1%创建系数矩阵b=3143631541 100 ; %常数列矩阵x=ab%利用 x=inv(a)*bx =3.86596.459028.204661.4706.又 x0=repmat(x,1,4);%创建多维数组b0=repmat(b,1 4) ;s=x0.*a ./b0%计算各产品的理论回收率，最后一列为产率s=87.46233.95113.93863.86592.468491.636112.90966.45903.41332.719477.567128.20466.65601.69345.584661.4706将

10、计算结果填入下表表 6-6 各产品产率及回收率计算结果产品名称产率 /%回收率 /%铅锌硫原矿100100100100铅3.865987.46233.95113.9386锌6.45902.468491.63616.4590硫28.20463.41332.719428.2046尾矿61.47066.65601.693461.4706实验四交通流量模型1. 问题图 6-8 给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数），计算各线路上车辆数 .x3100x6300x4400200x2x5x7300x1600x8200300500400500x9x10600700图 6-8假设：（ 1）全部流入网

11、络的流量等于全部流出网络的流量（ 2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量2. 模型的建立与求解由假设可知，所给问题满足如下线性方程组:.x2x3x4300x4x5500x7x6200x1x2800x1x5800x7x8100x9400x10x9200x10600x8x3x61003. matlab程序实现a=0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0;1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0% 矩阵 ab=300;500,200;800;800;100;400;200;600,100b=a,b% 增广矩阵brank(a)% 计算矩阵a 的秩rank(b)% 计算增广矩阵b 的秩，若秩相等，则有解rref(b)% 将增广矩阵b 化为最简型4.结果分析增广矩阵系数矩阵的秩rank(a)=8增广矩阵的秩rank(b)=810 ，说明该非齐次线性方程组有无穷多个解增广矩阵的最简型为:.其对应的齐次同解方程组为:x1x5800x2x50x3