平面向量经典例题讲解

1、平面向量经典例题讲解讲课时间 :_ 姓名： _课时： _讲课教师： _一、选择题（题型注释）uuurruuurruuurr2ma ， n 为 bc 的1 空间四边形 oabc中， oaa , obb ,occ , 点 m在 oa上，且 omuuuur中点，则 mn =（）a1 r2 r1 rb2 r1 r1 ra - bcabc232322c1 r1 r2 rd2 r2 r1 rab - ca3b - c22332【答案】 b【解析】uuur1 uuuruuur试题分析：因为n为bc的中点 ，则on(oboc ) ，uuuuruuuruuuur1uuuruuur2 uuur1 r1 r2 r2

2、mnonom2(oboc )oabc3a ，选 b322考点：向量加法、减法、数乘的几何意义；2已知平面向量 a ， b 满足 | a |1， | b |2，且 (ab)a ，则 a 与 b 的夹角是（）（ a） 5（ b）（c）（ d） 2633【答案】 d【解析】rrrrrrr 2r r试 题 分 析 ： q ( a b) a (a b) a 0aa b 0 ， | a | 1 ， | b | 2 ， 设 夹 角 为 ， 则r 2rr11 2cos0 cos12aa b23考点：本题考查向量数量积的运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到 cos的值，求出角uuruuur

3、uuuruuruuuruuur3若 oa 、 ob 、 oc 三个单位向量两两之间夹角为60，则 oaoboca.3b.3c.6d.6【答案】 d【解析】uuruuuruuur试 题 分 析 ：oa 、 ob 、 oc 三 个 单 位 向 量 两 两 之 间 夹 角 为 60 rrr 2r 2r 2 r 2r rr rr r3r rr rr rabcabc2ab2bc2ac2 a b cos60o2 b c cos60o2 a c cos60o6rrr6abc考点 : 向量的数量积 .4在平行四边形abcd 中， ac 与 bd 交于点 o，e 是线段 od 的中点， ae 的延长线与 cd

4、交于点 f ,uuurruuurruuur()若 aca， bdb ，则 afa.1r1rb.1 r 2rc.1 r1rd.2 r 1 r4a2baba4bab33233【答案】 d【解析】试题分析：由题意可知，aeb 与fed 相似，且相似比为uuur1 uuur3:1 ，所以 dfdc , 由向量加减法3uuuruuurruuuruuurruuurrruuurrrabab的平行四边形法则可知，abada, adabb ，解得， ad2, ab2，由向量加法的三角形法则可知，uuuruuuruuuruuur1 uuur2 r1 rafaddfad3abab , 故 d正确。33考点：平面向量

5、的加减法1的等边uuuruuuruuuruuur5在边长为abc 中， d , e 分别在边 bc与 ac上，且 bddc ， 2aeecuuuruuur则 adbe（）a1b1c1d12346【答案】 a【解析】uuuruuuruuuruuur试题分析： 由已知 d , e 分别在边 bc与 ac上，且 bddc ， 2aeec 则 d 是 bc 的中轴点， e为 ac 的三等分点，以d 为坐标原点，da 所在直线为 y 轴， bc 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，a(0,3 ) ， c (1,0) ， b(1,0) ，设 e( x, y) ，由 2aeec 可得： 2(x, y3

6、)( 1x, y) ，22222第 1 页 共 14 页第 2 页 共 14 页解得： x1 , y3 ，则 ad(0,3 ) ， be( 2 ,3 ) ， adbe1632332考点：平面向量的坐标运算abcd 中， ac 为一条对角线，uuuruuuruuur6在平行四边形ab(2,4) ， ac(1,3) ，则 da （）a（ 2,4 ）b（3,5 ）c（ 1， 1） d（ 1， 1）【答案】 c【解析】uuuruuuruuuruuur(1,1)试题分析： daad( acab )考点：平面向量的线性运算rrrr1,2 ，r）7已知向量 aab/b ，则 b 可以为（a 1,2b 1,2

7、c2,1d 2,1【答案】 a【解析】rr试题分析：设 b( x, y) ，则 ab (x1, y 2) ，因rx( y2) 0 ，ab/b ，所以 ( x 1) yy 2x 0 ，只有 a 满足考点：向量共线的条件8rr( 1,2)rrrra(2,3), b，若ma4b与a2b共线，则 m 的值为（）已知向量a 1b 2c1d 222【答案】 d【解析】rrm( 2,3)4(1,2)(2m4,3m8) ，试题分析：由已知得ma4brr2(1,2)(4,1)a2b (2,3)rrrr又因为 ma4b与 a2b共线，所以有 (2m4)(1)4 (3m8)014 m28m2 ，故选 d考点： 1向

8、量的坐标运算；2向量平行的坐标条件9已知平面直角坐标系内的两个向量a(1 , 2) , b(m , 3m2) , 且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成 cab (,为实数） , 则实数 m 的取值范围是（）a ( , 2)b (2,)c ( ,)d (,2) u (2,)【答案】 d【解析】试题分析：平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成cab (,为实数）的充要条件是a (1 , 2) , b(m , 3m2) 不共线 , 即 13m22 m0m2, 故选 d.考点：平面向量的基底及向量共线10若向量 r(1,2)rr, b4, 2),则下列说法中错误的是（）a(2,1) , c = (

9、rra.abr rb. 向量 a 与向量 c 的夹角为 90r rc. b cd. 对同一平面内的任意向量d , 都存在一对实数k1, k2 , 使得 dk1b + k2c【答案】 d【解析】试题分析： a b2 2 0，故 a 正确； a c1 ( 4)( 2)( 2)0 ，所以 b 正确； b1 c ，2故 c 正确；因为 b, c 是共线的，不能作为基底，故d 错考点：向量的夹角11已知向量 a = 3,4 ，若 a 5 ，则实数的值为（）a 1b 1c1d 155【答案】 d【解析】试题分析：因为a = 3,4 ，所以 a32425 ，因为aa5 ，所以 55，解得：1，故选 d考点：

10、 1、向量的数乘运算；2、向量的模rr0,2rr）12若向量 a2, 1 ， b，则以下向量中与 ab 垂直的是（第 3 页共 14 页第 4 页 共 14 页a 1, 2b 1,2c 2,1d0,2【答案】 a【解析】rrr试题分析：向量r( 2)1 0，以下向量中a2, 1 ， b0,2 ， ab ( 2 ,1) ，而 1 2r r与 a b 垂直的是 1, 2 .考点：向量垂直的充要条件.uuuruuuruuuruuuruuuruuur1 ，13在边长为1的正三角形 abc 中，设 bc2bd ， cace ，若 adbe4则的值为（）（ a） 1（ b） 2（ c） 1（ d） 323

11、【答案】 c【解析】试题分析：由题意可得：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuuruuuradbeabbdbcceab2bcbccauuuruuur1 uuur 2uuuruuur1 uuuruuur111 ，所以1abbcbcabcabcca24.222243考点：向量的应用.r(1,2) ，rr(3, 4)rrr14已知向量 ab (1,0)， c，若为实数， (ab)c ，则（）a 5b 1c5d 113223【答案】 d【解析】rrrrrrr r4 2 0 , 解 得试 题 分 析 ： ab 1,2 , 因 为 abc , 所 以 ab c 3 111

12、. 故 d 正确 .3考点：向量垂直 ; 向量的数量积 .uuuruuuruuuruuur315在 abc中，已知 | ab |4,| ac | 1 ， s abc，则 ab ac 的值为（）（ a）2 （ b） 2 （ c）4 （ d）2【答案】 d【解析】试题分析：由题根据三角形面积公式不难得到角 a 的正弦值，然后得到其对应的余弦值，结合平面向量数量积运算求得结果 .quuuvuuuv1uuuvuuuv3 ，1ac，acab sin a，cos a4ab1 sabc3 sin a2,22uuuvuuuvuuuvuuuvcosa2 ，故选 dabacabac考点：平面向量的数量积二、填空题

13、（题型注释）16已知两个非零向量a 与 b，定义 |a b| |a|b|sin，其中 为 a 与 b 的夹角若 a ( 3,4) ， b (0,2)，则 |a b| 的值为 _【答案】 6【解析】 |a|32 0222 2，a b 3 0 4 28，所以 cos a b42 5，|b|a b 8 4 ，又因为42 3 . 故根据定义可知 0 ， ，所以 sin 1cos2152555|a b| |a|b|sin 52 3 6.5uuur uuur17 abc中 ab 2， ac 3，点 d 是 abc的重心，则 ad bc _【答案】 53uuur2uuur21uuuruuur【解析】设 e

14、为边 bc的中点，因为点d 是 abc的重心，所以ad 3ae3(ab ac )uuuruuuruuuruuur2 1 (uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurab ac ) ，又 bc ac ab ，所以 ad bc 1 (ab ac ) ( ac ab ) 3uuur3uuur2) 51 ( ac2 ab33rr rrr18已知 a =（2,0 ）， | b | 3 ， a , b 的夹角为 60，则 | 2ab |【答案】13【解析】rrr 2r rr 21612 913.试题分析：2ab4a4a bb考点：向量的基本运算 .19已知 a、b、c是球 o的球面上三点，

15、bac=90， ab=2，bc=4，球 o的表面积为48，则异面直线 ab 与 oc 所成角余弦值为.第 5 页 共 14 页第 6 页 共 14 页【答案】3uuuruuur1 1any ac , x, y r ，则6【解析】试题分析：过 o 作 bc 的垂线，垂足为m ，以 ma 所在线为 x 轴，以 mc 所在线为 y 轴，以 mo 所在线为 z 轴，建立直角坐标系， 所以a(2,0，0)b(0, 2,0)c(0,2,0)o(0,0, 2 2)uuur(2, 2,0)ba，uuur43 .oc (0, 2,2 2) ，所以 cos48446考点： 1.空间向量法； 2.夹角公式 .rrr

16、r120rrrrrr20已知 | a | 1 ， | b | 2 ， a 与 b 的夹角为， abc0 ，则 a 与 c 的夹角为【答案】90【解析】rrr rrrr试 题 分 析 ： 要 求 a 与 c 的 夹 角 一 般 可 先 求 两 向 量 的 数 量 积 a c ， 而 c( a b) ， 因 此rrrrrr 2r rrraca(ab)aa b ，而根据已知， 这是可求的， 而且其结果是0，故 ac ，夹角为 90 考点：向量的夹角21已知 abc0 ，且 a 与 c 的夹角为 60 ， b3 a ，则 cos a, b 等于.【答案】32【解析】试题分析： abcrrrr 2r 2

17、r 2rr0 ， b(ac)， bac2| a | c | cos600 ，r 2r 2r 2r rr 2rrr 2rr 3aac | a | c | ， 2a | a |c |c0 ， | a | | c |，r rr rrr 2rrr2r r03 r2 a ?ba(ac)aa ? c| a | a | c | cos60| a |2r rrr3r23 cosa? br2| a |.a,brrr2| a |b | a |3 | a |考点： 1.向量的运算； 2.两向量的夹角公式 .uuuuruuur22已知点 g 为 abc 的重心，过点 g 作直线与 ab ，ac 两边分别交于 m ,

18、n 两点，且 amxab ,xy【答案】3【解析】试 题 分 析 ： 根 据 题 意 画 出 图 像 ， 因 为g为abc 的 重 心 , 所 以uuur21uuuruuur11 uuuur1 uuur1uuuur1uuurag32abac3amyan3xam3yan , 因为 : m , g , n 三点共线 , 所以x111, 所以113 , 所以答案为 : 33x3 yxy考点： 1向量的运算； 2三点共线的性质23已知向量 a(2,1, 3),b(4, 2,r；x) ，若 a / b ，则 x【答案】 -6【解析】rr2 ，所以 x6 .试题分析：由 ba 可知，考点：空间向量共线定理

19、 .rrrrrr24设向量 a (3,1),b(2,2) ，若 (ab) (ab) ，则实数.【答案】2【解析】rr(32,2) ，rr(32,2) ；试题分析：由已知得ababrrrrrrrr由 ( a b) ( ab)得 ( a b) ( a b) 0所以有 (32)(32)(2)(2)0即 4 280 ，解得2故答案为：2 .考点：向量的数量积的坐标运算.rrurrrrrr25已知向量 a( 1,2) ， b(2,3) ，若 mab 与 nab 的夹角为钝角，则实数的取值范围是【答案】9 且 x1【解析】第 7 页共 14 页第 8 页 共 14 页urrr(rrr(urrrrrr试题分

20、析： mab2,23) ， nab3, 1) ，若 mab 与 nab 的夹rrrr3(2)(23)0 ，即：urr角为钝角，则( ab)(ab)9 ，又 m与n 不共线，则(2)3(23)0 , 即：1，则9 且 x1考点： 1向量的夹角； 2向量的数量积； 3共线向量； 4向量的坐标运算公式；26 已 知 向 量 a,b 满 足 (a2b) ? (ab)6 ， 且a1, b 2， 则 a 在 b 上 的 投 影 为_ 【答案】 12【解析】rrrr2b) ? (ab)a1, b 2试题分析：设 a 与 b 的夹角为，向量a ， b 满足 ( a6 ，且，r 2r rr 2r rr rrra

21、 b1 ，再由的范围为0 ， ， aa bb1 a b 46 ， a b =1 cos = rr =ab2可得 =，则 a 在 b 上的投影为 1 cos1323考点：向量的数量积。r rrr2rrrrr27若向量 a 与 b 满足 | a |2 ， | b |， ( ab)a 则向量 a 与 b 的夹角等于；rr| ab |【答案】， 10 .4【解析】【解析】rrrrr 2r rr 21r r222r r1，试题分析： (a2b) ( ab)aa b2ba b6 ， a brrrr1rr所以 cosaba,brr，a, ba b23考点：向量的数量积与向量的夹角三、解答题（题型注释）29设

22、 a, b, c, d 为平面内的四点，且a(1,3), b(2,2),c( 4,1).（1）若 abcd, 求 d 点的坐标；（2）设向量 aab , bbc , 若 kab与 a3b 平行，求实数 k 的值 .【答案】（ 1） 5,6（ 2） k13 .；【解析】设出 drr试题分析：（ 1）两向量相等即坐标相同，x, y 即可就得；（ 2）两向量 ax1, y1 , b x2 , y2平行，满足条件是x1 y2x2 y1 .试题解析：设 dx, yuuuruuur21,3x, y4, 1 ，则 1,5x4, y + 1 ，3由 abcd ，得 2,分所以 x41,解得 x5,5分y + 15