“赵爽弦图”考题聚焦

1、.“赵爽弦图”考题聚焦王云峰我国古代数学家赵爽利用弦图（图1），巧妙地证明了勾股定理第 24 届国际数学家大会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举例介绍以弦图为背景的试题，供参考例 1图 2 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在rtabc 中，若直角边ac 6，bc 5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到图3 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图3 中的实线）是_解析如图 3，标注出点d、 e、 f、g ac 6， bc 5 gd 6 de 5 fg dc， fd 2dg 12在 rt def 中，由勾股定理，得ef de

2、2dg 252 122 13这个风车的外围周长为 4(ef fg) 4(13 6) 76例 2 如图 4，是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为 4若用 x，y 表示直角三角形的两直角边（xy ），下列四个说法：x2 y2 49； x y 2； 2xy 4 49； x y 9，其中说法正确的是 ()(a) (b) (c)(d) 解析 大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形的面积等于直角三角形斜边长的平方由勾股定理知直角三角形斜边长的平方为x2 y2，所以 x2 y2 49，正确由小正方形面积为4 知它的边长为 2，而小正

3、方形边长等于较长直角边与较短直角边的差，所以 x y2，正确大正方形面积等于4 个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以14 xy 4 49，2即 2xy 4 49，正确由、，得 x2 y2 2xy 4 49 2，即（ x y）2 94，所以 x y49 ，不正确综合知，选b.例 3 我国 代数学家 爽 了 明勾股定理， 制了一副“弦 ” ，后人称其 “ 爽弦 ”（如 5） 6 由弦 化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成 中正方形 abcd 、正方形 efgh 、正方形 mnkt的面 分 s1、s2、s2，若 s1s2 s3 10， s2 的 是 _例 4 如 7，已知小正方形 abcd

4、 的面 1，把它的各 延 一倍得到新正方形 a 1b1c1d 1；把正方形 a 1b 1c1 d 接原法延 一倍得到正方形 a 2b2c2d 2（如 8）；以此下去正方形 a nbncndn 的面 _解析由小正方形abcd 的面 1，知它的 1， dd 1 1， da 1 2如 7，在 rtd 1da 1 中，由勾股定理，得d 1a 2 d1 d2 da 2 12 22 5，所以正方形a 1b 1c1d1 的面 5如 8， d 1d2 d 1c1 d 1a1 5 ，d 1a 2 2d 1a1 2 5 在 rt d 1d 2a 2 中，由勾股定理，得所以正方形a 2b 2c2d2 的面 25 52同理，正方形 a 3b 3c3d 3 的面 125 53；正方形 a 4b4c4d4 的面 625 54；于是，可猜想正方形 anbncndn 的面 5n例 5 2002 年在北京召开的世界数学大会会 案是由四个全等的直角三角形 成的一个大正方形，中 的阴影部分是一个小正方形的“ 爽弦 ”，如 9若 四个全等的直角三角形有一个角 30，