____多元函数积分学总结

1、第九章多元函数积分学（三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用）1、 三重积分的引入：三重积分的概念是从求三维立体 的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦）问题的解决方法是经典的四部曲 ，分割，取近似，求和，取极限。2、 三重积分的计算：（ 1）作图 ,由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找出来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。（ 2）计算三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、

2、球面坐标系转换），接下来我们一一归纳之投影法方 法 概该法的本质是将所求的立体看作是一个主体，通过将每一个小主体上的质量积分最终得到总的要质量，立体区域 V 是曲面 zz1 x, y （称为下曲面），z z2 x, y （称为上曲面） 与以 xy边界为准线，母线平行于Oz轴的柱面为侧面。图 形 示例适 用 范投影区域较简单，上、下曲面可表示为垂直坐标平面坐标轴对应的变量为坐标平面上对围 应的两个变量的函数，且化成累次积分后容易计算出积分的值。注意点若xy 是 x 一型区域：1xy2x , axb ，则有若xy 是 y 一型区域：1yx2y , cxd ，则有若 xy 是圆域或圆域的一部分时，也

3、可化为xy 上的二重积分以后，再用极坐标变换化为累次积分。平面截割法方 法 概该方法是将所求立体看作是一根平行于某一坐标轴的细棒，通过将细棒上任意一小截面要上的质量积分，最终得到总质量。设立体V 介于两平面zc, zd 之间（ cd ，知对立体 V 中任意一点 P x, y, z ，有 czd ）。过 0,0, z , zc, d ，作垂直于 Oz轴的平面与立体相截，截面区域为D z ，如图 6-26所示，（知对立体 V 中的任意一点 P x, y, z ，有x, yD z ），从而立体区域V 可表示为：f x, y, z dvdx, y, z dxdy于是dz fcVDz图 形 示例适 用

4、范，而 D zf x, y, z 仅是 z的表达式或是常数的面积有公式可计算，可使这种方法，围g z dvddzg z dxdydg z dzdxdydg zSDz dz.cccVDzD z从而直接化成了关于z 的一元函数定积分。注意点Oy轴或 Ox轴的平面去截割立体。 f x, y, z根据具体情况， 也可作垂直于仅是 x（y）的表达式或是常数，而 D 的面积有公式可计算煮面坐标变换（多好听的名字，大家把柱体当成锅，就可以煮面了，最好是圆底锅）方 法 概xr cos, yr sin , zz.02 ,0r,z. 由 直 角要坐标与柱面坐标可知，r ,是点 Mx, y, z 在 Oxy 平面上

5、投影点 Mx, y 的极坐标， z是原直角坐标系中的竖 坐标 ，如图6-27.此 时fx, y, z dvfr cos, r sin, z rdrddz.VV设平行于 Oz轴的直线与区域 V的边界至多只有两个交点，设V 在 Oxy平面上的投影区域为xy 。区域xy 用 r ,不等式表示与平面中的极坐标变换把平面区域用r ,不等式表示完全相同，把上面投影法中的上曲面与下曲面表示成zz2 r , zz1r ,. 于是立体区域V 可表示为f x, y, z dvz2r ,从而rdrdf r cos ,r sin , z dzVz1 r ,6 r图 形 示例适 用 范若立体在 Oxy平面上的投影区域是

6、圆域或圆域的一部分（或被积函数中含有x2y 2围），可用柱面坐标系下的计算。 （另外两个坐标平面同样适用）注意点在柱面坐标系下，一般总是先积z，后积 r ，最后积。煮面坐标系变换实质上是投影法与极坐标变换的结合，在积分计算的过程中不要忘记添加r 因子球面坐标变换方xsincos, ysin sin , zcos .02.0,0.法概就是点 Mx, y, z在 Oxy 平面上投影点 Mx, yr ,由直角坐标和球面坐标可知。的极坐标中要的，此时fx, y, z dvfsincos ,sin sin,cos2 sinddd .VV1 、找出立体V 在 Oxy 平面上投影区域xy 的极角的范围。即立

7、体 V 在两半平面ZOAZOBV 中的任意一点M,满足。2、在,之间过极点作射与之间，即立体线，该射线与 Oz轴组成的半平面与立体起截得一截面区域。若对2 ，B 之任一 Q 值。对应的射线与 OZ轴组成的半平面与立体V 截面的圆形相同。 我们一般选取特殊的Q值如 Q=2，此时得到的截面，我们观察更清楚。找出该区域的范围1,2，即 12（一般情况下10 ，且2）为常数）。过极点 O在该截面上作射线与截面的边界交于两点。极径小的交点落在下曲面1,，极径大的交点落在上曲面2,，即截面上任意一点,满足1,2,，12, 如图 6-28. 从而在球面坐标立体区域V 可表示为v, ,: 1 ,2, 12,.

8、 于是图形示例适若立体 V是由以原点为心的球面围成的立体或是由以原点为球心的球面与以原点为顶点的维面围成用的主体，（或被积函数中含有 x2y2z2范）。此时用球面坐标系下的计算。围注球 面 坐 标 系 下 ， 总 是 先 积， 再 积， 最 后 积， 而 且 在 大 多 数 情 况 下 ，意点1,0, 10,2为常数。不要忘记因子哦。3、 第一类曲线积分概念的引入：第一类曲线积分是一直曲线的线密度函数，来求解曲线的质量，当线密度函数恒为常数1 时，积分的结果就是我们在微积分一当中遇到过的解曲线弧长的问题。关建是把曲线表示成参数方程，并且找出参数的区间,即可化成 t 的一元函数定积分。总结看来共

9、有五种类型：设平面第一类曲线积分为fx, y ds（ 1）若（ 2）若（ 3）若xx t ,22.:t.f xydsf x ty tx tyy t ,则: yx , axb, 则fx, y dsbx 12x dx.f x,a: xy , cyd ,则fx, y dsdy , y12 y dy.fc（ 4）若: rr, 即 xrcos , yrsin,. 则(5) 另外 也可以表示为 r 的函数，但是这种方法不常用以上各种转化的目标是将积分最终转化为一元函数的定积分，小心公示运用过程中的平方和开放4、第一类曲面积分的引入：第一类曲面积分是已知曲面的面密度函数，来求曲面的的质量若曲面若曲面S :

10、yy x, z , x, zxy ，则S : xx y, z , y, zyz ,则这里的各种转化实质上是将将积分转化为二重积分，所以在选择变量的时候要注意好究竟在哪一个坐标平面上的积分更好积一些两个第一类积分都是的被积函数往往都是可以化简的5. 点函数积分的基本性质设 f P , g P 在有界闭区域上都可积，有性质 1f Pg P df P dg P d .性质 2kfP dk fP d（ k 为常数）。上面两条性质称为线性运算法则。性质 3fP df P df P d ，其中12，且1 与2 无公共内12点。性质 4若 fP0, P，则f P d0.若 fP0, fP0 ，且 f P连续

11、， P，则f P d0.性质 5若 f Pg P ， P，则f P dg P d.若 fPg P , fPg P ，且 fP , g P 连续， P，则fP dg P d.性质 6fP df P d .性质 7若fP在积分区域上的最大值为，最小值为，则mfP dM .Mm性 质 8 （中 值定 理）若 f P 在有 界闭 区域上连 续， 则至 少 有 一点 P，使 得fP df P dfP. fP称为函数 f P在上的平均值。（对于中值定理的理解就是求平均值的过程，在连续函数范围内必有一个函数的函数值可取到平均值）6. 对称区域上点函数的积分（ 1）设R3，或曲线或曲面或立体。（ i ）若12

12、 ，且1 ,2 关于 Oxy平面对称，则（ ii）若34 ，且3 ,4 关于 Oyz平面对称，则（ iii）若56 ，且5 ,6 关于 Ozx平面对称，则简单地说，若R3关于坐标平面对称，当f P关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0；是偶函数时，为平面一侧区域积分的2 倍。若R 2关于坐标轴对称， 当 f P 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为0；是偶函数时， 则为该轴一侧区域积分的2 倍。同理 可得，若R3关于 z 轴对称， 当 fx,y, zf x, y, z 时，积分为 0 ；当fx,y, zfx, y, z 时， 积分 为 z 轴一 侧区域上积分的2倍 。若关于 原点 对称， 当fx,

13、y,zf x, y, z 时，积分为 0；当 fx,y, zfx, y, z 时，积分为原点一侧区域上积分的2 倍6. 应用（求重心（质心、形心） ，求转动惯量，求引力）重心公式设密度函数为Px, y, z 连续，求空间形体R 3的重心坐标（是曲线、曲面或空间立体），设的重心坐标为 x, y, z .P ydP zd同理yM, z, x, y, z是的重心。Mxd, yydzd.特别常数时，x, zM其中是的质量，是的大小。当常数时，关于 Oxy平面对称知， z 关于 z 是奇函数，有zd0 ，则 z0. 同理，当常数时，关于 Ozx平面对称，则 y 0. 当常数时，关于 Ozy平面对称，则 x0.同理，当R2（ 是曲线或平面区域） ，设密度函数Px, y 连续，设重心坐标P xdP ydxdyd为 x, y , 有x, y. 当常数时，x, y.MM常数，关于 x 轴对称，有 y0,关于 y 轴对称，有 x0.转动惯量（转动惯量的定义是质量乘以到转轴距离的平方，具有可加性）若 R3 （ 是空间曲线或曲面或立体） ，当 L