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1、一、自变量趋于有限值时函数的极限,第三节,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极限,一、自变量趋于有限值时函数的极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.定义 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,存在常,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,数A，,记作,2.几何解释:,极限存在,函数局部有界,(P36定理2),这表明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证明,证:,故,对任意的,当,时 ,因此,总有,例2,证,例3. 证明,证:,欲使,取,则当,时 , 必有

2、,因此,只要,例4. 证明,不证:,故,取,当,时 , 必有,因此,例5. 证明: 当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证 .,必有,3. 左极限与右极限,左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,定理,( P39 题11 ),例6. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理 3 .,因为,显然,所以,不存在 .,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,定义2 . 设,大于某一正数时有定义,若存在常数A，,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线,A 为函数,例7. 证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,

3、直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的水平渐近线 .,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,几何意义 :,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,二、函数极限的性质,定理1 如果 (或 )存在，那么极限是惟一的,定理2 如果 ，那么存在常数M0和0，,使得当0|x-x0| 时，有|f(x)|M.,证明 因为f(x)A(xx0) 所以对于 1 0 当0|xx0|时 有|f(x)A| 1 于是当 0|x x0 |时 |f(x)|f(x)AA|f(x)A|A|1|A|,唯一性,局部有界性,局部保号性,传染性,局部保号性定理,定理3 . 若,且 A 0 ,证: 已知,即,当

4、,时, 有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,则存在,( A 0 ),(P37定理3),若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时, 有,定理3:,不证，分析:,推论 . 若在,的某去心邻域内, 且,则,证: 用反证法.,则由定理 1,的某去心邻域 ,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),思考: 若定理 中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设 A 0 ,条件矛盾,故,定理4(函数极限与数列极限的关系) 如果当xx0时f(x)的极限存在 xn为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列 且 满足xn x0(nN) 那么相应的函数值数列f(x n)必收敛 且,子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义

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