高中数学人教选修11配套课件第3章导数及其应用3.4

1、3.4 生活中的优化问题举例,第三章导数及其应用,1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. 知识点二利用导数解决生活中优化问题的基本思路,知识点三解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)； (2)求导函数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和极值点

2、的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值； (4)依据实际问题的意义给出答案.,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一用料最省问题 例1如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在 岸边何处才能使水管费用最省？,反思与感悟,解如题图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，,又设总的水管费用为y元，,在(0,50)上，y只有一个极值点， 根据问题的实际意义，函

3、数在x30 km处取得最小值， 此时|AC|50 x20 (km). 供水站C建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.,令y0，解得x30.,反思与感悟,反思与感悟,用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.,解析答案,跟踪训练1某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2，问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001 m),即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.,解析答案,题型

4、二面积、容积的最值问题 例2如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？,反思与感悟,解析答案,解设广告的高和宽分别为x cm，y cm，,反思与感悟,令S0得x140， 令S0得20x140. 函数在(140，)上单调递增， 在(20,140)上单调递减， S(x)的最小值为S(140). 当x140时，y175. 即当x140，y175时，S取得最小值24 500， 故当广告的高为140

5、 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.,反思与感悟,反思与感悟,(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值. (2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤： 找关系：分析实际问题中各量之间的关系；列模型：列出实际问题的数学模型；写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；比较：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；结论：根据比较值写出答案.,解析答案,跟踪训练2如图，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成的图

6、形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形的最大面积. 解设B(x,0)(0 x2)，则A(x,4xx2). 从而|AB|4xx2，|BC|2(2x). 故矩形ABCD的面积为S(x)|AB|BC|2x312x216x(0 x2). S(x)6x224x16，,x1(0,2)，x1舍去.,解析答案,题型三成本最省，利润最大问题 例3甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b0)；固定部分为a元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函

7、数，并指出这个函数的定义域；,解析答案,(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解由题意s、a、b、v均为正数.,此时y0，,即y在(0，c上为减函数.,所以当vc时，y最小.,综上可知，为使全程运输成本y最小，,反思与感悟,反思与感悟,正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路.另外需注意： 合理选择变量，正确给出函数关系式. 与实际问题相联系. 必要时注意分类讨论思想的应用.,解析答案,跟踪训练3某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0 x21)的平方成正比.已知

8、商品单价降低2元时，一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； 解若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件. 由已知条件，得k2224，解得k6. 若记一个星期的商品销售利润为f(x)， 则有f(x)(30 x9)(4326x2)6x3126x2432x9 072，x0,21.,解析答案,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解对(1)中函数求导得f(x)的变化情况如下表：,x12时，f(x)取得极大值. f(0)9 072，f(12)11 664， 定价为301218(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.,思想方法,分类讨论思想的应用,解析答案,

9、返回,解后反思,解析答案,解后反思,分析首先根据容积(体积)求出r，l的关系，即用r表示l，根据l2r，即可求出r的取值范围，根据一个圆柱的侧面积和一个球的表面积公式建立建造费用y关于r的函数关系式，然后利用导数求解这个函数的极值点，通过讨论极值点与r的取值范围之间的关系求得容器建造费用最小时r的值.,由于l2r，故0r2.,该函数的定义域为(0,2.,由于c3，所以c20.,当r(0，m)时，y0； 当r(m,2时，y0. 所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点.,当rm时，y0；,解析答案,解后反思,当r(0,2时，y0，函数单调递减， 所以r2是函数y的最小值点.,解后反思,返回,解后

10、反思,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,解析原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0 x5)， 所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.,C,解析答案,1,2,3,4,5,解析设底面边长为x，,C,1,2,3,4,5,3.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为() A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件 解析因为yx281， 当x(0,9)时，y0.,解析答案,在(0,9)上单调递增.,所以当x9时，y0；,所以x9是函数的极大值点. 又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，,所以函数在x9处取得最大值.,C,解析答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析设年产量为x时，总利润为y，,由y0，得x300. 经验证，当x300时，总利润最大.,答案D,解析答案,1,2,3,4,5,5.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为_m时，容器的容积最大.,2x32.2x21.6x，x(0