物理竞赛辅导力学讲座[1].ppt

1、1,物理竞赛 辅导讲座 力学部分,2,全国部分地区大学生物理竞赛,竞赛按下列五个组分别报名和评奖: A. 物理类组； B. 非物理类A组； C. 非物理类B组； D. 文科、经管类组； E. 农学、林学、医学专业组。,北京大学，清华大学、北京邮电大学、北理工良乡校区和北航沙河校等等,考点,每年一届，今年：第30届,12月第2个星期日下午2：004：30（2.5小时）,时间,3,我校往届获得的成绩,4,参考书,5,一、理论的补充内容,6,知识点一： 与质点系的质心相关的内容 质心运动定理 质心坐标系 柯尼希定理 刚体平面运动的基本方程,7,一. 质点系的质心,质点系（含刚体）的质心C，是一个假想

2、的质点。它的质量等于质点系的总质量，它的坐标定义为：,即,(1),(1),对于给定的质点系，质心坐标取决于坐标系的选择。但它的相对位置不因此而变。,8,当系统质点排成一直线时，质心坐标公式成为,9,C,C,C,C,对于质量对称分布的质点系，其质心就在它的对称中心。举例如下：,10,二. 质心运动定理,（2）式对时间求导，即得质心加速度：,（4）,即质心动量就是系统动量。,11,（6）式可写成：,(6）或（7）是质心运动满足的微分方程，称为质心运动定理。它在形式上与一个单质点的牛顿方程相同。注意内力对质心运动不起作用。合外力为零时，质心加速度为零，质心动量守恒（即系统动量守恒）。,（7）,因系统

3、内力满足牛顿第三定律，内力之和应为零，故有,（6）,12,在一般情况下，物体受力后，质心按,（7）,产生质心加速度。若合力作用线不通过质心，物体将同时受一对质心的力矩 的作用，得到绕质心旋转的角加速度 ：,（8）,13,三.质心坐标系 以质心为原点的平动坐标系称为质心坐标系（C系）。质心坐标系在质点系力学中具有极其重要的作用。,与观测仪器相连的坐标系称为实验室坐标系（L系）。一般地说，L系适用于测定数据，C系适用于理论分析。,14,四. 质点系动能的分解,此中ui是第i个质点在C系中的速率。（8）称为柯尼希定理。证明从略。在许多情况下，用（8）式计算系统动能极其方便。,（8）,在任何坐标系L中

4、，系统的动能恒可分解为质心在L系中的动能与系统在C系中的动能之和：,系统在L系中的动能,系统质心C在L系中的动能,系统在C系中的动能,15,例. 计算沿平面直线滚动的均质实心轮子的动能Ek。已知轮子半径为R，质量为M, 滚动角速度为.,解：在地面坐标系（L系）中，轮子质心速度为,质心在L系中的动能为,轮子在C系中作定轴转动，转动惯量为,转动动能为,轮子在L系中的动能为,16,五. 刚体的平面平行运动,C,C,过质心C的转轴垂直图面,上图显示刚体运动时其上一个截面的运动。该截面过质心C，并保持在屏幕平面内。同时，刚体绕过质心C且垂直于图面的轴转动。刚体的这种运动方式称为平面平行运动。,C,质心C

5、的轨迹,17,C,C,C,刚体的这种运动可分解为随质心的平动加绕质心定轴转动。,（7）,（8）,质心C的轨迹,随质心的平动规律与质心的运动规律相同：,即,18,可见，刚体的平面运动满足3个独立投影方程。,（9）,是刚体对过质心转轴的转动惯量。,定轴转动的规律为,合外力矩,以沿平面直线滚动的轮子为例：,平动方程,转动方程,19,知识点二： 刚体定轴转动的基本方程 角动量定理,20,转轴,刚体角位移的大小,刚体初始位置,刚体末位置,刚体角位移矢量,刚体角速度矢量,转轴,外力 在转轴的垂直平面内,外力对O点的矩,外力的作用点,o,o,21,刚体的角加速度矢量,由于转轴方向不变，上述关系可简写成投影关

6、系：,刚体的角速度矢量,角坐标:,角速度:,角加速度:,刚体的角位移,刚体角速度的增量,22,角动量在转轴上的投影是： L= mvr = mr2,m,o,z,对于定轴转动刚体上的质点， 恒有 ，因而,质点对转轴的角动量：,23,刚体作定轴转动时，其上所有质点绕转轴的角速度为一共同量。 按照质点动量定义p=mv，质点对转轴的角动量L= mr2 也可视为惯量与角速度的乘积，mr2就是质点对转轴的转动惯量，以字符J记之：J=mr2，它体现了质点作定轴转动时惯性的大小。 刚体作定轴转动时，其上所有质点对转轴的转动惯量之和，称为刚体对转轴的转动惯量：,L,A,r,dm,24,（5）称为刚体定轴转动的角动

7、量定理，又称刚体的转动定律。,当（5）中外力矩M=0时，刚体角动量L=J=常值。此即刚体定轴转动下的角动量守恒定律。它类似于平动问题中的动量守恒定律。,25,外力矩M=0时，定轴转动刚体的角动量L=J=常值，是一条应用极广的定律。,离心节速器,26,平行轴定理,d,LC,L,若刚体对过其质心C的轴LC的转动惯量 为已知，则该刚体对另一平行轴L的转动惯量为：,此处d为两平行轴间的垂距。证明从略。,质心C,平行轴,27,已知均质圆盘绕过中心C的垂直轴LC的转动惯量为:,则该圆盘对过边缘的垂直轴L的转动惯量为：,平行轴定理应用举例：,28,解：,1）过O点的转动惯量：,挖去部分的质量,第二十届大学生

8、物理竞赛：,29,2）过新质心点的转动惯量：,首先找出新质心位置,作如图坐标系,令挖后质心坐标为 XC，有：,挖前质心坐标：,30,平行轴定理：,本题结束,R/6,31,垂直轴定理 如右图所示, 对于匀质薄刚体，x、y轴在刚体内且相互垂直, z轴垂直于刚体.则刚体对 z 轴的转动惯量等于其对 x、y轴的转动惯量之和。,32,垂直轴定理应用举例,x,y,z,a,b,已知矩形均质薄刚体，边长各为a,b, 对x轴与y轴的转动惯量各为：,由垂直轴定理知，刚体对z轴的转动惯量为：,33,已知圆盘初始角速度 , 圆盘与水平板之间的摩擦系数为. 求：（1）圆盘所受摩擦力矩； （2）圆盘放在平板上经多长时间后

9、停止转动？,例题,R,m,圆盘侧视图,34,r,r+dr,R,解（1）: 将圆盘分解成许多宽为dr的同心圆环。圆环面积为dS=2rdr, 圆盘单位面积质量为=m/R2, 园环质量为 dm=dS, 园环受的摩擦力为df =gdm, 摩擦力矩为,负号表示力矩的方向与初始角速度方向相反。,dS,圆盘俯视图,35,答(1): 对 r 积分，得总摩擦力矩：,解(2): 将总摩擦力矩的值代入转动定律（角动量定理）中：,分离变量：,36,设t=t1时刻圆盘停止，便有：,答（2）： t=t1=3R/4g 时圆盘停止。,37,将转动定律 代入上式右方，得元功,定轴转动的动能定理,定义力矩M的元功：,此处 为定轴

10、转动刚体的动能。(6)式表明：力矩的元功转化为刚体定轴转动动能的元增量此称定轴转动刚体的动能定理的微分形式。,(6),38,动能定理的积分形式是：,即，外力矩作的总功等于定轴转动刚体动能的增量。,(7),（7）式仅适用于J不变的场合。当J改变时，（7）应改为：,(8),39,冲击力问题,冲击力的特点是力F很大而作用时间极短。因而积分值（冲量）,既不是无限大，也不是无限小，而是有限非零值。当 已知时，按动量定理,（1）,（2）,（2）是动量定理的积分形式，适用于冲击力造成刚体平动的场合。,冲击力的冲量,动量增量,40,（3）,（3）是角动量定理的积分形式，适用于冲击力造成刚体旋转的场合。,冲量矩

11、,角动量增量,将（2）改写成：,冲击力矩问题,冲击力问题的一个共同特点是，在力作用时间内，刚体的动量或角动量有明显改变，但刚体的位移则可以忽略不计。原因是，前者是时间的同级小量，而后者是时间的二级小量。,41,冲击力矩例题,O,m,l,A,一质量为m，长为l的均匀细棒AO，支点在棒端O点。开始时，棒自由悬挂。以不变的冲力 打击它的下端点A，力作用的时间为。若棒原先静止，求打击后瞬间棒的角动量L以及棒的最大偏角。,解.打击前，棒的角动量为零。冲击力对棒上O点的矩为：,冲击力作用点,按角动量定理，有,C,悬挂点,打击后瞬间棒的角速度,42,O,m,l,F,O,m,打击后瞬间棒的角速度为：,打击后棒

12、的初动能：,由机械能守恒求出棒的最大偏角：,打击后棒得到的角动量为,重心C提升高度,C,C,C,重心,棒受打击后瞬间的动能,43,刚体定轴旋转中的机械能守恒例题,t=0时刻,t时刻,C,C,L,水 平 轴,均匀细棒AB质量为m，长为L, 可绕过A端的水平轴旋转。将棒置于水平位置，然后将B端放开任其自由落下。求细棒的角速度和角加速度与角位移的关系。,A,A,B,B,B,质心C下降了(L/2)sin ,44,C,C,L,势能改变量：,动能改变量：,机械能守恒定律：,水平轴,t=0时刻,t时刻,质心C下降了(L/2)sin ,45,将（2）对 t 求导：注意 ， 有：,（4）,解出：,（3）,（2）

13、,即：,（1）,也可用转动定律得到,46,典型难题：弹簧与非弹性碰撞,光滑水平面上有一轻质弹簧，劲度系数为k。它一端固定，另端系一质量为m的滑块。最初滑块静止时，弹簧呈自然长度L0 ,今有一质量为m的子弹以速度v0 沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块并留在其中，使滑块在水平面内滑动。当弹簧长度被拉伸至L时，求滑块速度的大小v和方向角。,47,(1),解得：,子弹射入滑块可视为冲击过程。它是完全非弹性碰撞过程，历时很短，可认为子弹停留在滑块中后，滑块才携子弹开始运动，设其初速为u. 由动量守恒定律，有：,48,(2),弹簧恢复力恒指向O点，它对O点的力矩恒为零，因而系统对O点的角动量守恒：,(3

14、),在以后的运动中，起作用的力只有弹簧恢复力，它是保守力，因而系统机械能守恒：,(2)(3)两式中只有v与两个未知量，可联立求解。,49,（5）,联立解出v和：,(4),50,万有引力系统,51,万有引力有心力的一种：,有心力：力的方向永远沿两质点的连线,万有引力定律：任何两物体间都存在相互吸引力，其方向沿两物体的连线，大小与两物体的质量成正比，与两物体间的距离成反比。,G:万有引力常数：G=6.6710-11 Nm2 kg-2,物体1的质量,物体2的质量,两体间距离,52,：沿矢径方向的单位矢量。模恒为1,方向指向被研究对象，即：,研究m1时， 指向m1，,研究m2时， 指向m2。,53,如

15、讨论在地球表面物体m的运动：,地球的质量5.98x1024kg,地球的半径6378.137 km,g是地球表面的重力加速度，数值为：,高空：物体所受重力仍遵循平方反比规律。,54,有心力场中物体的运动，天体运动：,有心力是保守力：,有心力场中物体由A点移到B点，有心力做功W：,取极坐标系,55,万有引力场中的势能：在引力场中把物体由 r 处移到无穷远处的过程中引力所做的功。,V（r）恒为负值,56,有心力场中质点对力心的角动量守恒：,因为：由转动定律：,57,面积定律：在万有引力场中运动的物体其矢径在单位面积内扫过的面积相等。角动量守恒的推论,S1= S2,58,万有引力场中质点的运动轨道（马

16、文蔚书上册p133)：,角动量,能量,e: 离心率。,力心位于椭圆的一个焦点上,59,情形1：能量E0时， e1, 轨道为椭圆。此情形m的动能无法克服引力而飞到无穷远，m被束缚在m周围。,情形2：能量E0时， e1, 轨道为抛物线 此情形m的动能足以克服引力而飞到无穷远，m远离m飞去，不再返回。,两种情形：,情形1： E0 e1,情形2： E0 e1,60,近地点与远地点：,近地点， Ek最大，v最快， Ep最低。,远地点， Ek最小，v最慢， Ep最高。,在椭圆方程中分别令 =0 和 得近地点和远地点：,近地点：,远地点：,61,椭圆半长轴,还可以利用半长轴r近和r远的关系消去A得到：,椭圆

17、半焦距,c,椭圆半短轴,b,62,人造地球卫星的运动，宇宙速度：,第一宇宙速度：若使人造地球卫星沿地球表面的正圆形轨道飞行，卫星发射时的初始速度v必须不小于某特定值。,正圆形轨道要求：,离心率：,地球表面的重力加速度,轨道方程：,此公式也可由“向心力=引力”推得,63,把g=9.81m/s2,R=6400km代入公式得：,v1称为第一宇宙速度（环绕速度），人造地球卫星初始速度必须大于v1才能维持环绕地球飞行，否则落回地面。,64,第二宇宙速度：若使人造地球卫星离开地球成为人造行星，必须使离心率e 1，这要求卫星能量 E 0, 令：,v2称为第二宇宙速度，人造地球卫星初始速度大于v2时，离开地球

18、成为人造行星。 v2又叫逃逸速度。如：美国“旅行者”火星探测器。,当v1 v v2 时，人造地球卫星环绕地球做椭圆运动。,65,第二十七届大学生物理竞赛：,填空 : 1.,66,第二十一届大学生物理竞赛：,填空 : 1.,67,第二十一届大学生物理竞赛：,填空 : 1.,解：设火箭起初在地球束缚轨道上运动，轨迹为一椭圆，其总能量为：,火箭速度增加 时，火箭总能量增量为：,当 的大小给定时，若使 E 达到最大，第一项必须达到最大。这要求： v 和 cos 取最大，即： 1）火箭在近地点 2） 与 同向,本题结束,68,第二十一届大学生物理竞赛：,二、计算题，13.,69,2R,M,碰前卫星速度（圆轨道）：,碰撞为完全非弹性，动量守恒,m,70,碰后能量,碰后星体作椭圆运动,椭圆半长轴,而在碰撞点处，,故碰撞点为近日点,再由,导出,说明什么？,71,（2）反方向相碰,此时，与从后面碰撞相反，此时星体速度损失，轨道高度下降，碰点为远地点。,从后面碰撞,从前面碰撞,本题结束,E,a,e,72,第二十八届大学生物理竞赛：,计算