最小的余数是1还是

1、.最小的余数是1 是 0？最小的余数是 1 是 0？ 个 你 哪个答案？当除数是 6，余数可以是几？你是填 0-5， 是 1-5？ 都涉及余数可不可以是 0 的 。九 教材中余数是 0 被 是没有余数， 1 被 是最小的余数。但 教材有不同的理解。 下面的文章我 得在所有的参考 料中 得是比 清楚明白的，推荐 同仁 参考。【 】浅 在整数除法中余数可以 零一、 困 教 的 不少小学数学教 我 一个 : “在整数除法中 , 余数可不可以 0?” 个 早有定 , 于是我不假思索地肯定作答 : “余数当然可以 0。”不料 于 一答案 , 他 并不同意 , 其理由如下 :第一 , 人教版 教育 程 准

2、 教科 数学 , 从一年 上册到六年 下册 , 里面均无“余数可以 0”的表述。第二 , 代 典 ( 修 本 )( 商 印 , 1996 年 ) 第 1553 “余数”一 的解 : “整数除法中 , 被除数未被除数整除所剩的大于 0 而小于除数的部分。如 27 6=43。即不完全商是 4, 余数是 3。” 就表明余数不能 0。在数学 本中找不到 “余数可以 0” 的 述 , 而在 典中却找到了 “余数不能 0”的 据 , 怪 他 我的答案持 疑 度。面 一个困 小学数学界同仁的 , 怎 来正本清源呢 ?我仔 地 了人教版全套小学数学 本 , 确 没找到“余数可以 0”的表述 , 只在三年 下册

3、第 26 六第 3 的指令性 言中 , 了三 “余数 0”的表述。我知道 , 的表述既不是出 在正文中 , 又没有 明道理 , 不足以成 据。 本中没有 , 看来只有通 合理思辨和相关考 来达到 小学同仁解惑之目的了。二、解惑所需的思辨1. 要用 立 一的 点看待 0众所周知 , 当 子中 一个桃子都没有 , 我 就 中桃子的个数 0。从 个意 上 ,0 是空集的基数 ,0 表示“没有”。然而 ,0 又是一个确定的数 , 它是自然数列的起始数 , 它既不是正数 , 也不是 数 , 它是唯一的中性数。 从 个意 上 ,0 又表示“有”。 一点不 理解。比方 , 小明在黑板上写了一个“ 0” ,

4、你 不能 他什么都没写吧 ! 再比方 , 某地某 的气温 0 氏度 , 你 不能 地 没有温度吧 ! 所以 , 我 用 立 一的 点看待 0, 懂得 0 既可表示“无” , 又可表示“有”。用 一 点考察整数除法 , 我 不 , 当 155 时, 得到整数商 3, 既可以 “没有余数”, 也可以 “余.数 0”, 两种 法是完全等价的, 因而都是正确的。2. 要用 展 化的 点看待概念 的关系人 数学概念的 并非一成不 的 , 而是 于不断 展 化之中的。例如 , “整数”与“分数”最初是两个并列的概念 , 它 相互排斥 , 渭分明 , 不容混淆。然而 , 出于数学自身 展的需要 , 后来 ,

5、 人 又把整数看做是分母 1, 分子 整数的假分数 , 如 3= 3/1,65=65/1 。 一来 , “分数”的外延就 大了 , “整数”与“分数”的关系也由并列关系 包含关系。 “整数” 成了“分数” 的特例 , 整数集成了分数集的真子集。 原先 , 整数集与分数集之并集才是有理数集 , 后来 , 种广 的分数集 上就是有理数集了。与此 似 , 人 研究整数除法 , 先研究被除数能被除数整除的情形 , 如 155, 正好得到整数商 3, 作 155=3。后来才研究有余数的情形 , 如 16 5, 得到不完全商 3 后 余 1, 作 165=31。起初 , “整除”与“有余数的除法”也是并列

6、而互斥的概念 , 前者没有余数 , 后者有余数 , 互不相容。后来 , 了研究的方便 , 人 干脆把“有余数的除法”的外延 大 , 它把原先的两个概念一并囊括。因 很容易 到 : 只要把“整除” 的“没有余数”看做“余数 0”即可。 一来 , “整除”就成了“有余数的除法”的特例 ,“整除” 与“有余数的除法” 也就 理成章地由 立 成 一 , 二者 一于广 的 “有余数的除法”之中。3. “余数 0”的 法有据可 事 上 , “余数 0”的提法早已被数学界 可。小学数学教 手册( 人民教育出版社 ,1982 年) 第 49 有如下表述 :“判定一个整数能不能被另一个正整数整除 , 只需 行除

7、法运算即可。 如果所得的余数 0, 就是整除的情况 ; 如果所得的余数不 0, 就是不能整除的情况。例如 : a=91,b=13。ab=9113, 商 7 余 0。 表明 91=137。即 91 能被 13 整除。a=97,b=19。9719 商 5 余 2。所以 97 不能被 19 整除。一般地 , 于整数 a 和正整数 b, 如果 行除法 ab 得商 q, 余数 r, 就有 a=bq+r。其中 0r数学手册 ( 人民教育出版社 ,1979 年 ) 第 1057 “数 ”的“ 相除法”中 , 有如下表述 :“每一个整数 a 可以唯一地通 正整数b 表示 a=bq+r, 0 r上述不等式 0r

8、 得注意的是 , “ 相除法”又称“欧几里得算法” , 我国宋代数学家秦九韶早在公元 1247 年即在其著作数 九章中 , 一算法 行 卓有成效的研究。.数学手册 ( 人民教育出版社 ,1979 年) 第 1066 “数 ”的“同余式”中 , 有如下表述 : “ 以 m 模 , 可将全体整数分 m个 , 同 的数都同余 , 不同 的数都不同余 , 称 的 同余 , 每 中各取一数 代表 , 例如 :0,1,2, ,m-1 构成一个完全剩余 。”由此易知 , 在以 0 代表的 个剩余 中 , 每个数除以 m,所得的余数均 0。也就是说 , 此 数中的每一个都是 m的倍数。事 上 , 我 不 从剩

9、余 的理 中 , 看到了 “余数 0”的 可 , 可以运用剩余 的理 和“抽 原理”来解答一 有关整除性的 目。 有 目并 出解答的数学 籍比比皆是 , 下面 一例。求 : 在任意四个整数中 , 必有 的两个数 , 它 的差能被 3 整除。 明 : 因 任何整数除以 3, 所得余数只可能是 0,1,2 三种。也就是 , 所有整数按其除以 3 所得余数来分 , 可分 余数分 0,1,2 的三个剩余 。把每个剩余 都看做一个抽 , 三个剩余 就是三个抽 。根据“抽 原理” , 把四个整数放 三个抽 , 至少有一个抽 里会有两个整数。 两个整数既属同一个剩余 , 它 除以 3 所得的余数必然相同 ,

10、 故其差除以 3 所得的余数必 0, 也就是 , 个差必能被 3 整除。三、教材修改的建 上所述 , 在整数除法中 , 余数的确是可以 0 的。但在 行的人教版小学数学教材中 , 此却完全不予涉及 , 遂令在教学中起主 作用的教 迷茫不解 , 在没有道理。由此 之 , 教材必 修改。1. 教材修改的重要意 有利于学生 0 的双重意 , 知道 0 既可表示“无” , 又可表示“有”。使用修改后的教材教学 , 能 学生初步感知 立 一的 思想。有利于学生用 展 化的 唯物主 点 概念 的关系 , 知道当学 了 “有余数的除法”后 , 原来的“整除” ( 包括“表内除法” ) 可以看做是“有余数的除

11、法”的特例 , 由此理解“特殊”与“一般”的关系。有利于学生后 的数学学 。2. 教材修改的具体意 要明确指出“没有余数”就是“余数 0”。人教版小学数学三年 上册第四 元“有余数的除法”第50 例 1 为: “搬 15 盆花布置会 , 每 5 盆, 可以 几 ?”解答此 的横式 15 5=3( 组) 。接着 , 本上 列出了 式。 道例 然起着承上启下的作用: 既承接二年 下册的“表内除法”, 又由此介 .除法 式 , “有余数的除法”的教学作 。第 51 例 2 是 : “一共有 23 盆花 , 每 5 盆, 最多可以 4 组, 多 3 盆。” 是“有余数的除法”的首个例 。解答 , 本上

12、先列出横式 :23 5=4(组 ) 3( 盆) 。再在横式下方列出 式 , 并用虚 将两个式子中的3 接 , 上“余数”二字。 本上述 排 具匠心 , 但 作点 充。建 在 两道例 后面 , 不失 机地 排一段 “ 0”的 的文字 , 学生懂得 : “0” 然表示“没有” , 但它同 又是一个确定的数 , 从 个意 上 , “0”也表示“有”。 接着 , 要引 学生 两道例 的 式 行 察和比 , 例 1 式中最下面的“ 0”与例 2 式最下面的“ 3” 于相同的位置 ,“ 3”既表示余数 ,“ 0”也可看成是余数。 去我 155 恰好等于 3,“没有余数” , 在我 也可 155, 商 3,

13、 “余数 0”。相信 理 , 学生能在 松愉快中接受 唯物主 思想的启蒙教育。要明确指出除数 a 时, 共有 a 种不同的余数 :0,1,2, ,a-1 。三年 上册第 52 例 3 为: “如果上例中一共有 16 盆花 , 可以 几 ?多几盆 ?如果是 17 盆,18 盆, ,24 盆,25 盆呢 ?” 本上列出了一 式子 :15 5=3(组 )16 5=3(组 ) 1( 盆)17 5=3(组 ) 2( 盆)18 5=3(组 ) 3( 盆)19 5=3(组 ) 4( 盆)20 5=( 组)21 5= ( 组) ( 盆)22 5= ( 组) ( 盆)23 5=24 5=25 5=.在 式子的右

14、 , 提了一个 : “ 察余数和除数 , 你 了什么 ?”旨在引 学生 “余数小于除数”的 。此 得不 , 无 大改。关 是要增加一段文字 , 要告 学生 : “155=3( 组) ”也可写作“ 155=3( 组) 0( 盆) ”。 , 展 在学生面前的余数就有 0,1,2,3,4 五种 , 就不会由于余数 0 的 匿 , 而使学生 “一个整数除以 5, 只有 1,2,3,4 四种余数”了。到四年 学 了“用字母表示数”后 , 本 当用更具概括性的 言告 学生 : 在整数除法中 , 如果除数是 a, 余数只能是 0,1,2, ,a-1, 一共有 a 种。当今 代 , 数学不 作 工具 , 着越

15、来越重要的作用 , 而且 , 数学作 一种文化 , 也日益深入人心。近年来 , 人 0 的双重意 的 越来越到位了。 不 , 没有距离被称作“零距离” ; 不收关税被称作“零关税”。把没有 差称作“零 差” ; 把没有 称 “零 ”。而像“零增 ” “零收益” “零 ” “零排放” “零 耗” “零学 ” “零片酬”“零首付”“零月租”“零利息”之 的提法早已 各媒体。随着 的推移 , 像 以“零” 模式的 在不断地 生。前些 候 , 美国国 卿希拉里克林 由于不 下属的荒唐行 , 首 了“零忍耐”一 , 令人 感新 。“ 0”本是数学中的元素 , 在数学的整数除法中 , 又 在在地存在着余数 0 的