高中数学人教A浙江一轮参考课件103二项式定理

1、10.3二项式定理,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.二项式定理,2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n+1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减小1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增加1直到n.,-4-,知识梳理,双击自测,-5-,知识梳理,双击自测,1.(1+x)2n(nN*)的展开式中,系数最大的项是 () A.第 项B.第n项 C.第n+1项D.第n项与第n+1项 2.(2015福建高考)在(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答),C,解析:展开式共有2n+1项

2、,且各项系数与相应的二项式系数相同.故选C.,80,-6-,知识梳理,双击自测,3.若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a3=. 4. 的展开式中x8的系数是(用数字作答).,80,-7-,知识梳理,双击自测,(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关.当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值.,-8-,知识梳理,双击自测,3.“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n, (ax2+bx+c)m(a,bR)的式子,求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;

3、对形如(ax+by)n(a,bR)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.,-9-,考点一,考点二,考点三,求二项展开式的指定项或指定项的系数(考点难度),0,-2,-10-,考点一,考点二,考点三,方法总结求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项即可.,-11-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)在(x+a)10的展开式中,若x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案) (2)(2016浙江宁波十校联考IB)已知二项式(2x+1)n展开式中含x2项的系数为

4、60,求展开式的中间项.,-12-,考点一,考点二,考点三,二项式系数的和或各项系数的和的问题(考点难度) 例2(1)(2015西安八校联考改编)设 展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则n的值为. (2)已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a10(1-x)10,则a1+a2+a10=.,4,-1 023,解析: (1)各项系数之和M=4n,二项式系数之和N=2n, 所以M-N=240=4n-2n,解得n=4. (2)令t=1-x,则x=1-t,所以有(2-t)10=a0+a1t+a2t2+a10t10, 令t为1,a0+a1+a10=1,另

5、t=0,可得a0=210, 所以,a1+a2+a10=1-210=-1 023.,-13-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.,-14-,考点一,考点二,考点三,A.2n-1+3B.2(2n-1+1) C.2n+1D.1 (2)(2015课标全国高考)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.,C,3,-15-,考点一,考点二,考点三,(2)(方法一) (1+x)4=x4+ C

6、4 3 x3+ C 4 2 x2+ C 4 1 x+ C 4 0 x0=x4+4x3+6x2+4x+1, (a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32, a=3. (方法二)设(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5. 令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5, 令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5, 由-,得16(a+1)=2(b1+b3+b5). 即8(a+1)=32,解得a=3.,-16-,考点一,考点二,考点三,二项式定理的应用(考点难度) 考情分析求多项式展开式中的特定项是近几年高考的

7、热点和难点,一般可以分成三种情况:(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题;(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题;(3)三项展开式中的特定项(系数)问题.,-17-,考点一,考点二,考点三,考向一几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题 例3已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,nN*)的展开式中x的系数为11,则当x2的系数取最小值时n的值为.,3,-18-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知(1+ax)3+(1-x)5的展开式中x3的系数为-2,则a等于() A. B.2C.-2D.-1,B,解析: (1+ax)3,(1-x)5的展开式中x3的系数分别为a

8、3, , 由题可得a3-10=-2,即a3=8,解得a=2.,-19-,考点一,考点二,考点三,考向二几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 例4(2016浙江高考IB) 已知(1+2x)4(1-x2)3=a0+a1x+a2x2+a10 x10,求a2的值.,-20-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2016浙江宁波五校联考IB)已知(1+4x)5(1-2x)4展开式中按x的升幂排列的第3项与 的展开式中的常数项相等,求x的值.,解:(1+4x)5(1-2x)4展开式中按x的升幂排列的第3项为关于x2的项. 由(1+4x)5=1+54x+10(4x)2+,(1-2x)4=1+4(-2x)

9、+6(-2x)2+, 知第3项为10(4x)2+6(-2x)2-4(2x)54x=24x2.,-21-,考点一,考点二,考点三,考向三三项展开式中特定项(系数)问题 例5(2016浙江台州中学高三第三次模拟)求 的展开式中的常数项.,-22-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知(x2-3x+1)5=a0+a1x+a2x2+a10 x10, 则a1+a2+a3+a10=() A.-1B.1C.-2D.0,C,解析:(x2-3x+1)5=a0+a1x+a2x2+a10 x10,令x=0,可得a0=1, 令x=1,可得a0+a1+a2+a10=-1, a1+a2+a10=-2.故选C.,-23-,

10、考点一,考点二,考点三,方法总结1.几个多项式和的展开式中特定项只需要先分别求出每一个多项式中的特定项,再合并即可. 2.几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:可先分别化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项,最后进行合并即可. 3.三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法: (1)通常将三项式转化为二项式积的形式,然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解; (2)将其某两项看成一个整体,直接利用二项式展开,然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.,-24-,易错警示混淆二项展开式的系数与二项式系数致误,(1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.,-25-,解:由题意知,22n-2n=992, 即(2n-32)(2n+31)=0,故2n=32,解得n=5.,-26-,反思提升本题易将二项式系数和系数混淆,利用赋值来求二项式系数的和导致错误;另外,也要注意项与项的系数、系数的绝对值与系数的区别.,-27-,对点训练(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.,-28-,高分策略1.二项展开式的通项 是展开式